APMO 2013

Bài 1. Cho tam giác nhọn $ABC$ với các đường cao $AD, BE, CF$, còn $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng các đoạn thẳng $OA, Ò, OB, OD, OC, OE$ chia tam giác $ABC$ thành ba cặp tam giác có diện tích bằng nhau.

Bài 2. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\frac{n^2+1}{[\sqrt{n}]^2+2}$ là một số nguyên. Ở đó $[r]$ là số nguyên dương lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $r$.

Bài 3. Cho $2k$ số thực $a_1,a_2,...a_k,b_1,b_2,...,b_k$. Xét dãy số thực $(x_n)$ xác định như sau:
$$X_n =\sum_{i=1}^k [a_in+b_i]\quad (n=1,2,...).$$
Nếu dãy $(x_n)$ là một cấp số cộng, hãy chứng minh rằng $\textstyle\sum_{i=1}^k a_i$ là một số nguyên. Ở đó $[r]$ là số nguyên dương lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $r$.

Bài 4. Cho hai số nguyên dương $a,b$ và $A,B$ là hai tập hợp hữu hạn các số nguyên thỏa mãn:
$(i)$ $A$ và $B$ rời nhau;
$(ii)$ Nếu một số nguyên $i$ hoặc thuộc $A$ hoặc $B$ thì $i+a$ thuộc $A$ hoặc $i-b$ thuộc $B$.
Chứng minh rằng $a|A|=b|B|$.
(Ở đó $|X|$ là số phần tử của tập hợp $X$)

Bài 5. Cho tứ giác $ABCD$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $\omega$ và $P$ là một điểm nằm trên phần kéo dài của $AC$ sao cho $PB$ và $PD$ là các tiếp tuyến của $\omega$. Tiếp tuyến tại $C$ cắt $PD$ tại $Q$ và đường thẳng $AD$ tại $R$. Gọi $E$ là giao điểm thứ hai của $AQ$ và $\omega$. Chứng minh rằng $B,E,R$ thẳng hàng.

Dịch theo AoPS