Hong Kong National Olympiad 2013

14 December 2013

Câu 1. Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng:

$$\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{a}+6\sqrt{3}b}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{b}+6\sqrt{3}c}+\sqrt[4]{\frac{\sqrt{3}}{c}+6\sqrt{3}a}\le\frac{1}{abc}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 2. Với bất kì số nguyên dương $a$, ta gọi $M(a)$ là số các số nguyên dương $b$ sao cho $a+b$ chia hết cho $ab$. Tìm tất cả các số nguyên $a$ với $1\le a\le 2013$ sao cho $M(a)$ đạt giá trị lớn nhất có thể trong phạm vi của $a$.

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ với $CA>BC>AB$. Gọi $O$ và $H$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác $ABC$. Gọi $D$ và $E$ lần lượt điểm chính giữa của cung $AB$ và cung $AC$ (trên đường tròn tâm $O$) không chứa đỉnh đối diện. Gọi $D'$ là đối xứng của $D$ qua $AB$ còn $E'$ là đối xứng của $E$ qua $AC$. Chứng minh rằng $O,H,D',E'$ cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi $A,D',E'$ thẳng hàng.

Câu 4. Trong một giải đấu cờ vua có $n$ kỳ thủ, ($n> 1$). Hai kỳ thủ bất kì đấu với nhau đúng một lần. Được biết, có đúng $n$ ván hòa. Với bất kỳ tập $S$ các kỳ thủ gồm cả $A$ và $B$, ta nói rằng $A$ "ngưỡng mộ" $B$ nếu:

i) $A$ không đánh bại $B$; hoặc

ii) Có tồn tại một chuỗi các kỳ thủ $C_1, C_2, \ ldots, C_k$ mà $A$ không đánh bại $C_1$, $C_k$ không đánh bại $B$, và $C_i$ không đánh bại $C_ {i +1} 1 \ leq i \ k-1$.

Một bộ bốn kỳ thủ được cho là "hài hòa" nếu một trong bốn kỳ thủ ngưỡng mộ tất cả các kỳ thủ khác trong bộ này. Tìm theo $n$, số lượng lớn nhất có thể có các bộ điều hòa.