Mexico NMO 2013

Câu 1. Tất cả số nguyên tố được viết theo thứ tự $p_{1}=2,p_{2}=3,p_{3}=5,...$

Tìm tất cả các cặp số nguyên $a,b$ với $a-b \geq 2$ mà $(p_{a}-p_{b})\vdots 2(a-b)$

Câu 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có góc $\widehat{A}$ tù, $P$ là một điểm thuộc cạnh $BD$. Đường tròn tâm $P$ qua $A$ cắt đường thẳng $AD$ tại $A$ và $Y$; cắt đường thẳng $AB$ tại $A$ và $X$. Đường thẳng $AP$ cắt $BC$ tại $Q$ và $CD$ tại $R$. Chứng minh rằng: $\widehat{XPY}=\widehat{XQY}+\widehat{XRY}$.

Câu 3. Cho tập hợp $A =  \{1, 2, ... , 2012, 2013\}$. Gọi $B$ là tập hợp con của $A$ mà trong đó không có bộ ba phần tử phân biệt $a,b,c$ nào thỏa mãn:  $a$ là ước hoặc là bội của $b-c$.  Tìm giá trị lớn nhất của $|B|$ 

Câu 4. Một  khối lập phương $n \times n \times n$ được chia thành các khối lập phương $1 \times 1 \times 1$. Tô màu các khối lập phương nhỏ đó bằng hai màu đen và trắng sao cho mỗi khối hộp chữ nhật $n \times 1 \times 1$, $1 \times n \times 1$, và $1 \times 1 \times n$ có đúng hai khối lập phương màu đen và chúng được ngăn cách bởi một số chẵn (có thể là $0$) khối lập phương màu trắng. Chứng minh rằng có thể thay thế một nửa số lập phương màu đen bằng lập phương màu trắng sao cho mỗi khối hộp chữ nhật $n \times 1 \times 1, 1 \times n \times 1$ và $1 \times 1 \times n$ có đúng một khối lập phương đen.

 

Câu 5. Một cặp số nguyên được gọi là "đặc biệt" nếu nó có dạng $(n;n-1)$ hoặc $(n-1;n)$ với $n$ là một số số nguyên dương nào đó. Gọi $n$ và $m$ là các số nguyên dương thỏa mãn $(n, m)$ không đặc biệt. Chứng minh rằng $(n, m)$ có thể được biểu diễn qua tổng của hai hoặc nhiều cặp "đặc biệt" khác nhau khi và chỉ khi $m$ và $n$ thỏa mãn bất đẳng thức $n+m\geq (n-m)^2$.

Chú ý: tổng của hai cặp được định nghĩa là $(a, b)+(c, d) = (a+c, b+d).$

 

 

Câu 6. Cho bát giác lồi $A_1A_2 ... A_8$ có tất cả các cạnh bằng nhau và các cạnh đối diện song song. Với $i = 1, ... , 8$, ta gọi $B_i$ là giao điểm của $A_iA_{i+4}$ với $A_{i-1}A_{i+1}$, trong đó $A_{j+8} = A_j, B_{j+8} = B_j, \forall j$. Chứng minh rằng có một số số $i$ trong $\{ 1,2,3,4 \}$ thỏa mãn:

$$\frac{A_iA_{i+4}}{B_iB_{i+4}} \leq \frac{3}{2}$$ .

 

Dịch theo AOPs

Mời bạn thảo luận thêm tại đây