Indian NMO 2014

Câu 1. Cho tam giác $ABC$ có $D$ là một điểm trên cạnh $BC$ sao cho $AB + BD = AC +CD$. Giả sử bốn điểm $B,C$, trọng tâm các tam giác $ABD,ACD$ cùng nằm trên một đường tròn. Chứng minh rằng: $AB=AC$.

Câu 2. Với số tự nhiên bất kì $n$, chứng minh rằng:

  $$\left\lfloor\frac{n}{1}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{n}{n}\right\rfloor+\left\lfloor\sqrt{n}\right\rfloor$$

là số chẵn

Câu 3. Cho $a,b$ là các số tự nhiên thoả mãn $ab > 2$. Giả  sử tổng của ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng chia hết cho $a+b$. Chứng minh rằng thương số lớn nhất là $\frac{a+b}{4}$.  Khi nào thì thương đó bằng $\frac{a+b}{4}$.

Câu 4. Viết đa thức $x^2+x+2014$. $Calvin$ và $Hobbes$ luân phiên nhau chơi một trò chơi ($Calvin$ chơi trước). Trong lượt đi của mình, $Calvin$ được phép tăng thêm $1$ hoặc giảm đi $1$ đối với hệ số của $x$. Trong lượt đi của mình, $Hobbes$ được phép tăng thêm $1$ hoặc giảm đi $1$ đối với hệ số tự do. $Calvin$ sẽ thắng nếu tại một thời điểm bất kì, đa thức thu được có nghiệm nguyên. Chứng minh rằng $Calvin$ luôn có chiến thuật dành phần thắng.


Câu 5. Cho tam giác nhọn $ABC$, $D$ là điểm trên cạnh $BC$. Gọi $O_1,O_2$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD,ACD$. Chứng minh rằng đường thẳng đi qua tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$ và trực tâm tam giác $O_1O_2D$ song song với $BC$


Câu 6. Cho $n > 1$ là một số tự nhiên. Đặt $U = \{ 1,2,...,n \}$ và $A\Delta B$ là tập hợp tất cả các phần tử của $U$ mà chỉ thuộc về đúng một tập $A$ hoặc $B$.

Chứng minh rằng: $|\mathcal{F}|\le 2^{n-1}$.

Ở đó $\mathcal{F}$ là họ các tập con của $U$ sao cho bất kì hai tập phân biệt $A,B$ của $\mathcal{F}$, ta luôn có $|A\Delta B |>2$. Tìm $\mathcal{F}$ khi dấu bằng xảy ra