Ngày thứ nhất
Câu 1. Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R}$. Giải hệ phương trình sau
$$\begin{cases}a^{3}+b=c\\ b^{3}+c=d\\ c^{3}+d=a\\ d^{3}+a=b\end{cases}$$
Câu 1. Cho $a,b,c,d \in \mathbb{R}$. Giải hệ phương trình sau
$$\begin{cases}a^{3}+b=c\\ b^{3}+c=d\\ c^{3}+d=a\\ d^{3}+a=b\end{cases}$$
Câu 2. Cho tứ diện $ABCD$. Chứng minh rằng: đỉnh D, tâm mặt cầu nội tiếp tứ điện và trọng tâm tứ diện thẳng hàng khi và chỉ khi diện tích các tam giác $ABD, BCD, CAD$ bằng nhau.
Câu 3. Giả sử $m,n\in\mathbb{Z_{+}}$ sao cho tập hợp $A=\{1,2,...,n\}$ có đúng $m$ số nguyên tố khác nhau. Chứng minh rằng nếu ta chọn bất kì $m+1$ số khác nhau từ $A$ thì ta có thể tìm 1 số từ $m+1$ số đã chọn chia hết cho tích $m$ số khác.
Câu 3. Giả sử $m,n\in\mathbb{Z_{+}}$ sao cho tập hợp $A=\{1,2,...,n\}$ có đúng $m$ số nguyên tố khác nhau. Chứng minh rằng nếu ta chọn bất kì $m+1$ số khác nhau từ $A$ thì ta có thể tìm 1 số từ $m+1$ số đã chọn chia hết cho tích $m$ số khác.
Ngày thứ hai
Câu 1. Tìm tất cả các hàm số:$ f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} $ thỏa mãn:
$$ g(f(x)-y)=f(g(y))+x. $$
Câu 2. Cho tam giác $ABC$ có $\angle A=60^{\circ}$ và $AB \neq AC$. Gọi $I,O$ lần lượt là tâm đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng: trung trực của $AI$, đường thẳng $OI$ và đường thằng $BC$ đồng quy.
Câu 3. Kí hiệu $S(k)$ là tổng các chữ số khi viết trong hệ thập phân của số $k$. Chứng minh rằng có vô số số $ n\in\mathbb{Z_{+}}$ sao cho $S(2^n + n) < S(2^n)$.
Mời các bạn cùng tham gia giải đề thi và thảo luận tại: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=68629
0 comments:
Đăng nhận xét