Ngày thứ nhất
Câu 1. Cho a,b,c,d \in \mathbb{R}. Giải hệ phương trình sau
\begin{cases}a^{3}+b=c\\ b^{3}+c=d\\ c^{3}+d=a\\ d^{3}+a=b\end{cases}
Câu 1. Cho a,b,c,d \in \mathbb{R}. Giải hệ phương trình sau
\begin{cases}a^{3}+b=c\\ b^{3}+c=d\\ c^{3}+d=a\\ d^{3}+a=b\end{cases}
Câu 2. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: đỉnh D, tâm mặt cầu nội tiếp tứ điện và trọng tâm tứ diện thẳng hàng khi và chỉ khi diện tích các tam giác ABD, BCD, CAD bằng nhau.
Câu 3. Giả sử m,n\in\mathbb{Z_{+}} sao cho tập hợp A=\{1,2,...,n\} có đúng m số nguyên tố khác nhau. Chứng minh rằng nếu ta chọn bất kì m+1 số khác nhau từ A thì ta có thể tìm 1 số từ m+1 số đã chọn chia hết cho tích m số khác.
Câu 3. Giả sử m,n\in\mathbb{Z_{+}} sao cho tập hợp A=\{1,2,...,n\} có đúng m số nguyên tố khác nhau. Chứng minh rằng nếu ta chọn bất kì m+1 số khác nhau từ A thì ta có thể tìm 1 số từ m+1 số đã chọn chia hết cho tích m số khác.
Ngày thứ hai
Câu 1. Tìm tất cả các hàm số: f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} thỏa mãn:
g(f(x)-y)=f(g(y))+x.
Câu 2. Cho tam giác ABC có \angle A=60^{\circ} và AB \neq AC. Gọi I,O lần lượt là tâm đường tròn nội và ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng: trung trực của AI, đường thẳng OI và đường thằng BC đồng quy.
Câu 3. Kí hiệu S(k) là tổng các chữ số khi viết trong hệ thập phân của số k. Chứng minh rằng có vô số số n\in\mathbb{Z_{+}} sao cho S(2^n + n) < S(2^n).
Mời các bạn cùng tham gia giải đề thi và thảo luận tại: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=68629
0 comments:
Đăng nhận xét