Paraguay Mathematical Olympiad 2012

Ngày 13/10/2012. Thảo luận tại đây

Câu 1

Xây dựng một dãy số với các tính chất sau đây:
- Số hạng đầu tiên của dãy là một số tự nhiên có một chữ số.
- Mỗi số hạng (kể từ khi lần thứ hai) thu được bằng cách cộng $9$ vào số hạng đứng ngay trước nó trong dãy
- Số $2012$ là một số hạng trong dãy.
Tìm số hạng đầu tiên của dãy.

Câu 2
Một con kiến lang thang trên một bàn cờ. Nó chỉ đi theo chiều dọc và theo chiều ngang qua các ô vuông bàn cờ và không đi qua một ô bất kì hai hoặc nhiều lần.
a) Nếu bàn cờ cỡ $4\times 4$, phải bắt đầu từ ô vuông nào để có thể đi qua tất cả các ô.

b) Nếu bàn cờ cỡ $5\times 5$, phải bắt đầu từ ô vuông nào để có thể đi qua tất cả các ô.

c) Nếu bàn cờ cỡ $n\times n$, phải bắt đầu từ ô vuông nào để có thể đi qua tất cả các ô.

Câu 3
Cho tam giác $ABC$ (vuông tại $B$) nội tiếp nửa đường tròn đường kính $AC=10$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến $AC$ nếu đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng trung bình hình học các cạnh của tam giác.

Câu 4. 
Tìm các số có $4$ chữ số $\overline{abcd}$ sao cho chúng là bội của $3$ và $\overline{ab}-\overline{cd}=11$.

Câu 5
Cho tam giác đều $ABC$, $Q$ là một điểm bất kì trên $BC$. Đường thẳng $AQ$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại điểm thứ hai $P$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{PQ}=\frac{1}{PB}+\frac{1}{PC}$$