Đề thi HSG tỉnh lớp 11 tỉnh Quảng Bình 2012-2013.

Thảo luận tại đây

Câu 1:

a) Giải hệ phương trình 

$$\left\{\begin{matrix} x+\frac{2}{y}+\frac{x}{y}=10\\x^2+\frac{1}{y^2}+2x=12 \end{matrix}\right.$$

b) Giải phương trình:

$$(\cos 2x -\cos 4x)^2=6+ 2 \sin 3x$$  

Câu 2:

a) Tính giới hạn dãy số: $\lim ( \sqrt{n^4+n^2+1}-\sqrt[3]{n^6+1})$

b) Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix} u_1=2013\\u_{n+1}=\sqrt[n+1]{u_n^n+\frac{1}{2013^n}} \end{matrix}\right.$$

Tìm công thức số hạng tổng quát và giới hạn dãy số $(u_n)$

Câu 3: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang cân ( $AD // BC$ ) và $BC=2a$ và $AB=AD=CD=a$. Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ với $BD$. Mặt bên $SBC$ là tam giác đều. Biết $SD$ vuông góc với $AC$.

a) Tính $SD$
b) Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ thuộc đoạn $OD$ song song với $SD$ và $AC$. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  $(\alpha)$ . Biết $MD=x$. Tìm  $x$ để diện tích là lớn nhất.

Câu 4: Cho phương trình: $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$

 a) Với $d=-2013$, chứng minh rằng phương trình có ít nhất hai nghiệm phân biệt

b) Với $d=1$, giả sử phương trình có nghiêm, chứng minh $a^2+b^2+c^2\ge \frac{4}{3}$