Ngày thi: 30/03/2013. Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a) 3\sqrt[3]{2x+4}+2\sqrt{3x-2}=10
b) \sin 2x + \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 2 = 0
Câu 2. Giải hệ phương trình:
\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt x}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2\\y\sqrt{x^2+1}=2x+\sqrt{3x^2+3} \end{matrix}\right.
Câu 3.
a) Tìm giới hạn \lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{3x+21}-\sqrt{2x+5}}{x^3-8}
b) Cho dãy số (u_n) xác định như sau:
\left\{\begin{matrix} u_1=2&\\u_{n+1}=\frac{u_n}{1+5u_n}&, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.
Tìm n \in \mathbb{N}^* sao cho u_n = \frac{2}{2521}
Câu 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có
AB=a,AD=2a,AA'=a,\widehat{BAD}=120^o, \widehat{A'AB}=\widehat{A'AD}=90^o
Gọi M,N lần lượt là trung điểm AD, DD'; K là điểm đối xứng với N qua C.
a) Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng (B'MN) và hình hộp.
b) Tính độ dài KM
c) Điểm E thuộc đường thẳng MB' sao cho CE song song với mặt phẳng (BA'C'). Tính tỉ số \frac{ME}{MB'}.
Câu 5. Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn a+b+c \leq 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
S = a^2+b^2+c^2+\frac{5}{a^3}+\frac{5}{b^3}+\frac{5}{c^3}
Câu 5 Áp dụng BĐT Cauchy cho 19 số dương bao gồm: a^2, 5 số \frac{1}{a^3} và 13 số a, ta có: a^2+\frac{5}{a^3} + 13a \geq 19\sqrt[19]{a^2.\frac{1}{a^{15}}.a^{13}} = 19 Từ đó suy ra: a^2+\frac{5}{a^3} \geq 19-13a Tương tự ta có: b^2+\frac{5}{b^3} \geq 19-13b c^2+\frac{5}{c^3} \geq 19-13c Cộng theo vế ba BĐT trên, ta có: S \geq 3.19 - 13(a+b+c) \geq 18 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1