Ngày thi: 30/03/2013. Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu 1. Giải các phương trình sau:
a) $3\sqrt[3]{2x+4}+2\sqrt{3x-2}=10$
b) $\sin 2x + \cos 2x - 5\sin x - \cos x + 2 = 0$
Câu 2. Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt x}+\frac{y}{x}=\frac{2\sqrt{x}}{y}+2\\y\sqrt{x^2+1}=2x+\sqrt{3x^2+3} \end{matrix}\right.$$
Câu 3.
a) Tìm giới hạn $\lim_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{3x+21}-\sqrt{2x+5}}{x^3-8}$
b) Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix} u_1=2&\\u_{n+1}=\frac{u_n}{1+5u_n}&, \forall n \in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$$
Tìm $n \in \mathbb{N}^*$ sao cho $u_n = \frac{2}{2521}$
Câu 4. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có
$$AB=a,AD=2a,AA'=a,\widehat{BAD}=120^o, \widehat{A'AB}=\widehat{A'AD}=90^o$$
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $AD, DD'$; $K$ là điểm đối xứng với $N$ qua $C$.
a) Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(B'MN)$ và hình hộp.
b) Tính độ dài $KM$
c) Điểm $E$ thuộc đường thẳng $MB'$ sao cho $CE$ song song với mặt phẳng $(BA'C')$. Tính tỉ số $\frac{ME}{MB'}$.
Câu 5. Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa mãn $a+b+c \leq 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$S = a^2+b^2+c^2+\frac{5}{a^3}+\frac{5}{b^3}+\frac{5}{c^3}$$
Câu 5 Áp dụng BĐT Cauchy cho 19 số dương bao gồm: $a^2$, $5$ số $\frac{1}{a^3}$ và $13$ số $a$, ta có: $$a^2+\frac{5}{a^3} + 13a \geq 19\sqrt[19]{a^2.\frac{1}{a^{15}}.a^{13}} = 19$$ Từ đó suy ra: $$a^2+\frac{5}{a^3} \geq 19-13a$$ Tương tự ta có: $$b^2+\frac{5}{b^3} \geq 19-13b$$ $$c^2+\frac{5}{c^3} \geq 19-13c$$ Cộng theo vế ba BĐT trên, ta có: $$S \geq 3.19 - 13(a+b+c) \geq 18$$ Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$