Bộ bài tây $52$ lá được sắp một cách ngẫu nhiên thành $13$ cột và $4$ dòng. Lật ngữa quân bài.
Thầy Hoàng Xuân Thanh nói với thầy Hoàng Ngọc Thế:
" Bây giờ tôi cho thầy sắp bài tuỳ ý ; miễn là theo cách trên ; sau đó sẽ thực hiện các bước; mỗi bước tôi chuyển vị trí của $2$ con bài có chung phần số. Ví dụ: $2$ bích đổi chỗ $2$ cơ ; $\mathcal{K}$ rô đổi chỗ $\mathcal{K}$ nhép..... Và sau một hữu hạn các bước thì mỗi cột sẽ có đủ $4$ chất cơ - rô - nhép -bích."
Thầy Thế cho là thầy Thanh bốc phét và đánh cuộc 500K .
Theo các bạn; ai sẽ là người thắng trong trò này?
Thầy Thanh thấy thương thầy Thế vì thầy Thế sẽ thua trong trò này. Do vậy thầy Thanh nói với thầy Thế:
- Thầy cứ nghe tôi phân tích đã rồi hẵng đặt cược.
Thầy Thanh bắt đầu nói: Tôi hoàn toàn có thể mỗi cột sẽ có đủ 4 chất cơ - rô - nhép -bích sau một số hữu hạn bước theo cách như sau:
Tôi đánh số các cột theo thứ tự từ trái qua phải là $1,2,3,...13$
Bước 1: Nếu cột $1$ đã có đủ $4$ chất cơ, rô, bích, nhép thì xong.
Nếu không, cột $1$ tồn tại ít nhất $2$ quân bài cùng chất. Không giảm tổng quát, giả sử cột $1$ thừa chất cơ. Ta đổi vị trí các quân bài ở cột $1$ với các cột khác cho đến khi cột $1$ chỉ còn $1$ quân bài chất cơ. Dễ thấy việc này là hoàn toàn làm được. Ta hãy làm như vậy cho đến khi cột $1$ có đủ $4$ chất. Ta tạm gọi việc này là hoàn thành cột $1$ (diễn ra sau nhiều nhất $4$ bước, mỗi bước di chuyển 1 quân bài).
Bước 2: Ta lần lược thực hiện lại công việc như bước $1$ tại cột $2,3,...,13$ theo nguyên tắc, để hoàn thành cột $k$, $k > 1$, ta ưu tiên đổi các quân bài ở cột $k$ với các quân bài ở các cột $k+1,k+2,...,13$. Giả sử đã hoàn thành xong các cột $1,2,..,k-1$
Nếu quân bài cần đổi ở cột $k$ nằm ở $1$ trong các cột $k+1,k+2,...,13$ thì việc hoàn thành cột $k$ được diễn ra sau nhiều nhất $4$ bước, mỗi bước di chuyển 1 quân bài.
Bây giờ ta xét trường hợp quân bài cần đổi ở cột $k$ không nằm ở $1$ trong các cột $k+1,k+2,...,13$. Không mất tính tổng quát, ta giả sử cột $k$ thừa chất cơ, chẳng hạn có $2$ cơ và $3$ cơ (có thể có $4$ quân cơ thì cũng làm tương tự) và thiếu chất bích, hơn nữa, các quân bài $2$ cơ, $2$ bích lại đang ở đâu đó trong các cột $1,2,...k-1$.
Ta đổi quân $2$ cơ ở cột $k$ với quân $2$ bích ở cột $m, (1 \leq m <k)$. Dễ thấy cách làm như vậy sẽ hoàn thành cột $k$, nhưng lại đưa cột $m$ về trạng thái giống như của cột $k$ trước đó, tức là thừa chất cơ, thiếu chất bích.
Không giảm tổng quát, giả sử ngoài $2$ cơ, cột $m$ có thêm $4$ cơ. Ta lại thực hiện lại các bước ở trên. (Về bản chất, công việc này là đổi một quân bài chất cơ lấy 1 quân bài chất bích).
Việc này chỉ có thể kéo dài tối đa $k$ bước, do ở $k-1$ cột trước đó, chỉ có đúng $k-1$ quân bích và $k-1$ quân cơ. Vì vậy, đến bước $k$, ta sẽ phải đổi đến quân bích ở một trong các cột $k+1, k+2, ..., 13$. Như vậy ta hoàn thành được cột $k$
Thầy Thế gật gù. May quá, thầy Thanh rộng lượng, không lấy tiền của mình.
