Cấp số cộng và cấp số nhân

1. Dãy số

Dãy số $(u_n)$ là một hàm số với biến số tự nhiên

$$\begin{matrix}(u_n):& \mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{R}\\ &n \mapsto u_n\end{matrix}$$

Các số $u_1, u_2, ..., u_n, ...$ được gọi là các số hạng của dãy. Số $u_1$ được gọi là số hạng đầu.

Có ba cách cho một dãy số:

- Cho bằng công thức số hạng tổng quát:

$$u_n=f(n), \forall n \geq 1$$

- Cho bằng công thức truy hồi:

$$u_n=f(u_1,u_2,...,u_{n-1}),\forall n \geq 2$$

- Cho bằng cách mô tả.

2. Cấp số cộng

a) Định nghĩa

Dãy số $(u_n)$ (hữu hạn hay vô hạn) thỏa mãn điều kiện:

$$u_{n+1} =u_n+d, \forall n \geq 1$$

được gọi là cấp số cộng.

Số $d$ được gọi là công sai của cấp số cộng.

b) Số hạng tổng quát, tổng $n$ số hạng đầu

Số hạng tổng quát của cấp số cộng $(u_n)$ được cho bởi công thức:

$$u_n = u_1 + (n-1)d, \forall n \geq 1$$

Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số cộng $(u_n)$ được cho bởi công thức:

$$S_n = \frac{(u_1+u_n).n}{2} =nu_1+ \frac{n(n-1)}{2}d, \forall n \geq 1$$

3. Cấp số nhân

a) Định nghĩa

Dãy số $(u_n)$ (hữu hạn hay vô hạn) thỏa mãn điều kiện:

$$u_{n+1} =u_n.q, \forall n \geq 1$$

được gọi là cấp số nhân.

Số $q$ được gọi là công bội của cấp số nhân.

b)Số hạng tổng quát, tổng $n$ số hạng đầu

Số hạng tổng quát của cấp số nhân $(u_n)$ được cho bởi công thức:

$$u_n = u_1.q^{n-1}, \forall n \geq 1$$

Tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân $(u_n)$ được cho bởi công thức:

$$S_n = \frac{u_1(1-q^n)}{1-q}, \forall n \geq 1$$

4. Ví dụ

Ví dụ 1 Vay số tiền $A$ từ ngân hàng với lãi suất kép $r\%$ mỗi tháng. Hỏi sau $n$ tháng, số tiền ta nợ ngân hàng (cả gốc và lãi) là bao nhiêu nếu trong $n$ tháng đó, ta không rút ra lần nào?

Đáp án: $T = A\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)^n$

Ví dụ 2 Dân số tỉnh $X$ năm nay là $A$, tỉ lệ gia tăng dân số tỉnh này là $r \%$ mỗi năm. Tính dân số tỉnh $X$ sau $n$ năm.

5. Dãy $u_{n+1}=qu_n+d$

Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix}u_1&=&\alpha\\u_{n+1}&=&qu_n+d, \forall n \geq 1 \end{matrix}\right. (qd \neq 0, q \neq 1)$$

Hãy tìm công thứ số hạng tổng quát của dãy số.

Giải

Xét phương trình đặc trưng:

$$x=qx+d$$

Phương trình này có nghiệm là $x = \frac{d}{1-q}$.

Đặt $v_n = u_n -\frac{d}{1-q}, \forall n \geq 1$. Khi đó, $\forall n \geq 1$, Ta có:

$$v_{n+1}=u_{n+1}-\frac{d}{1-q}=qu_n+d-\frac{d}{1-q}$$

$$=q\left( {u_n - \frac{d}{{1 - q}}} \right) = qv_n$$

Vậy $(v_n)$ là một cấp số nhân công bội $q$. Do đó:

$$v_n=v_1.q^{n-1}, \forall n \geq 1$$

Từ đó suy ra:

$$u_n=v_n+\frac{d}{1-q}=\left( {u_1 - \frac{d}{{1 - q}}} \right).q^{n-1}+\frac{d}{1-q}, \forall n \geq 1$$

Ví dụ 3

Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:

$$\left\{\begin{matrix}u_1&=&1\\u_{n+1}&=&2u_n+3, \forall n \geq 1 \end{matrix}\right.$$

Tìm giới hạn dãy số.

Ví dụ 4 Vay số tiền $A$ từ ngân hàng với lãi suất kép $r\%$ mỗi tháng. Mỗi tháng, trả lãi ngân hàng số tiền $t ,t <\frac{Ar}{100}$. Hỏi sau$n$ tháng, số tiền ta nợ ngân hàng (cả gốc và lãi) là bao nhiêu?