Đồng biến trên $\left. (-\infty ;-1 \right]\cup \left[ 2;+\infty ) \right.$

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số $m$ để hàm số
$$y=x^3-3(2m+1)x^2+(12m+5)x+1$$
đồng biến trên $\left. (-\infty ;-1 \right]\cup \left[ 2;+\infty ) \right.$

Giải
Cách 1

Đặt $K=\left. (-\infty ;-1 \right]\cup \left[ 2;+\infty ) \right.$

Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi

$$\begin{align}y' \geq 0, \forall x \in K \Leftrightarrow & \left\{\begin{matrix} m \geq \frac{3x^2-6x+5}{12(x-1)}&, \forall x \in \left. (-\infty ;-1 \right] \\ m \leq \frac{3x^2-6x+5}{12(x-1)}&, \forall x \in \left[ 2;+\infty ) \right. \end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow & \left\{\begin{matrix} m \geq \max_{\left. (-\infty ;-1 \right]}g(x) \\ m \leq \min_{\left[ 2;+\infty ) \right.}g(x) \end{matrix}\right. \end{align}$$

Trong đó: $g(x) = \frac{3x^2+6x-5}{x-1}$. Ta có:

$$g'(x) = \frac{3x^2-6x+1}{12(x-1)^2}$$

Phương trình $g'(x) = 0$ vô nghiệm trên $K$.

$$g(-1) = -\frac{7}{12};g(2)=\frac{5}{12};\lim_{x\to +\infty}g(x) = +\infty; \lim_{x\to -\infty}g(x) = -\infty$$

Do đó

$$\max_{\left. (-\infty ;-1 \right]}g(x) =-\frac{7}{12}; \min_{\left[ 2;+\infty ) \right.}g(x)=\frac{5}{12}$$

Vậy:

$$\eqref{pt27} \Leftrightarrow -\frac{7}{12} \leq m \leq \frac{5}{12}$$

Cách 2

Dễ thấy $y'$ là tam thức bậc hai có: $\Delta ' = 6(6m^2-1)$.\\

*Trường hợp 1. Nếu $-\frac{1}{\sqrt{6}}\leq m \leq \frac{1}{\sqrt{6}}$ thì $\Delta ' \leq 0$. Khi đó $y' \leq 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$. Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn.

*Trường hợp 1 Nếu $m < -\frac{1}{\sqrt{6}}$ hoặc $m > \frac{1}{\sqrt{6}}$ thì $\Delta ' > 0$. Khi đó phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2(x_1<x_2)$. 

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:

$$\begin{align*}-1 \leq x_1 <x_2 \leq 2  \Leftrightarrow & \left\{\begin{matrix}(x_1-2)(x_2-2) \geq 0\\(x_1+1)(x_2+1)\geq 0 \\ x_1+x_2 \geq -2\\ x_1+x_2 \leq 4\end{matrix}\right. \\ \Leftrightarrow & \left\{\begin{matrix}\frac{12m+5}{3}-2.2(2m+1)+4 \geq 0\\ \frac{12m+5}{3}+2(2m+1)+1\geq 0 \\2(2m+1) \geq -2 \\ 2(2m+1)\leq 4  \end{matrix}\right. \\  \Leftrightarrow & -\frac{7}{12} \leq m \leq \frac{5}{12}\end{align*}$$

Kết hợp cả hai trường hợp, ta có đáp án của bài toán là:

$$-\frac{7}{12} \leq m \leq \frac{5}{12}$$

Cách 3

Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi

$$3x^2-6(2m+1)x+12m+5 \geq 0 \forall x \in K$$

Dễ thấy $h(x) = 3x^2-6(2m+1)x+12m+5$ là tam thức bậc hai có hoành độ đỉnh: $x_0=2m+1$ và:

$$g(-1)=14+24m;g(1)=5-12m;g(2m+1)=2(1-6m^2)$$

Do parabol $y=h(x)$ có bề lõm quay lên trên nên yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi: $g(2m+1) \geq 0$ hoặc

$$\left\{\begin{matrix}g(-1) \geq 0 \\ g(2) \geq 0 \end{matrix}\right.$$

Điều này tương đương với:

$$-\frac{7}{12} \leq m \leq \frac{5}{12}$$