Câu 1. Cho hàm số y=\frac{x+2}{2x-1} có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng d: 2x+3y-1=0 một góc 45^0.
Câu 2. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y=mx^3-3mx^2+(2m+1)x+3-m có hai điểm cực trị A và B sao cho khoảng cách từ điểm I\left(\frac{1}{2};\frac{15}{4}\right) đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3. Cho đa giác đều (H) có n đỉnh (n\in\Bbb{N}, n>4). Tìm n, biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của (H) và không có cạnh nào là cạnh của (H) gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của (H) và có đúng một cạnh là cạnh của (H).
Câu 4. Tính tích phân I=\int\limits_1^2\frac{\ln x-1}{x^2-\ln^2x}\;\mathrm{d}x.
Câu 5. Giải phương trình (1+x)(2+4^x)=3.4^x
Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều tâm O. Hình chiếu vuông góc của C' lên mặt phẳng (ABC) trùng với O. Biết khoảng cách từ O đến CC' bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ACC'A') và (BCC'B') bằng 60^0. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng CC' và AB'.
Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x-y-2z-5=0 và đường thẳng d: \frac{x-2}{4}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+3}{1}. Viết phương trình đường thẳng \Delta nằm trong (P), song song với d và cách d một khoảng bằng \sqrt{14}.
Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(3;3), đường phân giác trong của góc A có phương trình x-y=0. Điểm I(2;1) là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Tìm toạ độ các đỉnh B và C biết rằng BC=\frac{8}{\sqrt5} và góc \widehat{BAC} nhọn.
Câu 9. Giải hệ phương trình \begin{cases} \frac{x^3+y^3}{xy}-\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\\ 2015^{3x-y-1}+x-3y+1=\sqrt{4x^2-4y+2}\end{cases}
Câu 10. Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn a^2+b^2+c^2+ab=2(a+b)c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\frac{c^2}{(a+b-c)^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}.
Ta có:
\left ( \frac{x+2}{2x-1} \right )'=-\frac{5}{(2x-1)^2}<0, \quad \forall x \neq \frac{1}{2}
Dễ thấy hệ số góc của d là -\frac{2}{3}. Gọi k<0 là hệ số góc của tiếp tuyến, ta có:
\left| {\frac{{k + \frac{2}{3}}}{{1 - \frac{{2k}}{3}}}} \right| \Leftrightarrow k =-5
Với k=-5, ta có hoành độ tiếp điểm x_1=0, x_2=1. Từ đó, ta có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
y=-5x-2; \quad y=-5x+8