Câu 1. Cho hàm số $y=\frac{x+2}{2x-1}$ có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến đó tạo với đường thẳng $d: 2x+3y-1=0$ một góc $45^0$.
Câu 2. Tìm các giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=mx^3-3mx^2+(2m+1)x+3-m$ có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left(\frac{1}{2};\frac{15}{4}\right)$ đến đường thẳng $AB$ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 3. Cho đa giác đều $(H)$ có $n$ đỉnh ($n\in\Bbb{N}, n>4$). Tìm $n$, biết rằng số các tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và không có cạnh nào là cạnh của $(H)$ gấp 5 lần số tam giác có ba đỉnh là đỉnh của $(H)$ và có đúng một cạnh là cạnh của $(H)$.
Câu 4. Tính tích phân $I=\int\limits_1^2\frac{\ln x-1}{x^2-\ln^2x}\;\mathrm{d}x$.
Câu 5. Giải phương trình $(1+x)(2+4^x)=3.4^x$
Câu 6. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều tâm $O$. Hình chiếu vuông góc của $C'$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với $O$. Biết khoảng cách từ $O$ đến $CC'$ bằng $a$, góc giữa hai mặt phẳng $(ACC'A')$ và $(BCC'B')$ bằng $60^0$. Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $CC'$ và $AB'$.
Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):x-y-2z-5=0$ và đường thẳng $d: \frac{x-2}{4}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+3}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ nằm trong $(P)$, song song với $d$ và cách $d$ một khoảng bằng $\sqrt{14}$.
Câu 8. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có đỉnh $A(3;3)$, đường phân giác trong của góc $A$ có phương trình $x-y=0$. Điểm $I(2;1)$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Tìm toạ độ các đỉnh $B$ và $C$ biết rằng $BC=\frac{8}{\sqrt5}$ và góc $\widehat{BAC}$ nhọn.
Câu 9. Giải hệ phương trình $\begin{cases} \frac{x^3+y^3}{xy}-\sqrt{xy}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}\\ 2015^{3x-y-1}+x-3y+1=\sqrt{4x^2-4y+2}\end{cases}$
Câu 10. Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $a^2+b^2+c^2+ab=2(a+b)c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{c^2}{(a+b-c)^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$.
Ta có:
$$\left ( \frac{x+2}{2x-1} \right )'=-\frac{5}{(2x-1)^2}<0, \quad \forall x \neq \frac{1}{2}$$
Dễ thấy hệ số góc của $d$ là $-\frac{2}{3}$. Gọi $k<0$ là hệ số góc của tiếp tuyến, ta có:
$$ \left| {\frac{{k + \frac{2}{3}}}{{1 - \frac{{2k}}{3}}}} \right| \Leftrightarrow k =-5$$
Với $k=-5$, ta có hoành độ tiếp điểm $x_1=0, x_2=1$. Từ đó, ta có hai tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
$$y=-5x-2; \quad y=-5x+8$$