Bài toán
Tìm bán kính của đường tròn và chiều cao của hình viên phân có độ dài cung là $l$ và độ dài dây cung là $w$.
Giải
1. Tìm mối liên hệ giữa $w, l$ với $R$
Giả sử trên đường tròn tâm $O$ có $OA=OB=R$, dây cung $AB=l$, $\widehat{AOB}=\alpha$, $\widehat{ABO}=\beta$, ta có:
$$\alpha = \frac{l}{R}; \quad \quad \beta = \frac{\pi - \alpha}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}$$
Áp dụng định lý sin trong tam giác $AOB$ ta có:
$$\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}} = \frac{OA}{\sin \widehat{ABO}}$$
hay $$\frac{w}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin \beta}= \frac{R}{\cos \frac{\alpha}{2}} $$
Suy ra:
$$\frac{w}{R} = \frac{\sin \alpha}{\cos \frac{\alpha}{2}} = 2\sin \frac{\alpha}{2}=2\sin \frac{l}{2R}$$
Vậy:
$$\frac{w}{2R}=\sin \frac{l}{2R} $$
Nghiệm của phương trình trên đây không thể biểu diễn dưới dạng các hàm số sơ cấp.
2.Giải gần đúng
Đặt $x=\frac{l}{2R} \in \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right)$ ta thu được phương trình
$$f(x)=\sin x - \frac{w}{l}x = 0$$
Ta giải phương trình này bằng phương pháp Newton. Ta có:
$$f'(x)=\cos x - \frac{w}{l}; \quad f''(x)=-\sin x$$
Ta lập dãy
$$\begin{cases}x_0 = \frac{\pi}{2} \\ x_{n} = x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}=x_{n-1}-\frac{\sin(x_{n-1})-\frac{w}{l}x_{n-1}}{\cos(x_{n-1})-\frac{w}{l}}, \quad \forall n \geq 1\end{cases}$$
Xem trong file Excel đính kèm, thường đến bước 6 là ra kết quả.
3. Tìm mối liên hệ giữa $h$ và $w, R$
Gọi $E$ trung điểm AB, $D$ là điểm chính giữa cung $AB$. Khi đó $DE=h$.
Ta có
$$\begin{align*}OE^2 & = OA^2-EA^2\\(R-h)^2 &= R^2-\frac{w^2}{4}\\h &=R-\sqrt{R^2-\frac{w^2}{4}}\\ \end{align*}$$
