Bài toán
Tìm bán kính của đường tròn và chiều cao của hình viên phân có độ dài cung là l và độ dài dây cung là w.
Giải
1. Tìm mối liên hệ giữa w, l với R
Giả sử trên đường tròn tâm O có OA=OB=R, dây cung AB=l, \widehat{AOB}=\alpha, \widehat{ABO}=\beta, ta có:
\alpha = \frac{l}{R}; \quad \quad \beta = \frac{\pi - \alpha}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}
Áp dụng định lý sin trong tam giác AOB ta có:
\frac{AB}{\sin \widehat{AOB}} = \frac{OA}{\sin \widehat{ABO}}
hay \frac{w}{\sin \alpha} = \frac{R}{\sin \beta}= \frac{R}{\cos \frac{\alpha}{2}}
Suy ra:
\frac{w}{R} = \frac{\sin \alpha}{\cos \frac{\alpha}{2}} = 2\sin \frac{\alpha}{2}=2\sin \frac{l}{2R}
Vậy:
\frac{w}{2R}=\sin \frac{l}{2R}
Nghiệm của phương trình trên đây không thể biểu diễn dưới dạng các hàm số sơ cấp.
2.Giải gần đúng
Đặt x=\frac{l}{2R} \in \left ( 0; \frac{\pi}{2} \right) ta thu được phương trình
f(x)=\sin x - \frac{w}{l}x = 0
Ta giải phương trình này bằng phương pháp Newton. Ta có:
f'(x)=\cos x - \frac{w}{l}; \quad f''(x)=-\sin x
Ta lập dãy
\begin{cases}x_0 = \frac{\pi}{2} \\ x_{n} = x_{n-1}-\frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}=x_{n-1}-\frac{\sin(x_{n-1})-\frac{w}{l}x_{n-1}}{\cos(x_{n-1})-\frac{w}{l}}, \quad \forall n \geq 1\end{cases}
Xem trong file Excel đính kèm, thường đến bước 6 là ra kết quả.
3. Tìm mối liên hệ giữa h và w, R
Gọi E trung điểm AB, D là điểm chính giữa cung AB. Khi đó DE=h.
Ta có
\begin{align*}OE^2 & = OA^2-EA^2\\(R-h)^2 &= R^2-\frac{w^2}{4}\\h &=R-\sqrt{R^2-\frac{w^2}{4}}\\ \end{align*}
