[Đấu trường VMF 2011] trận 2: ALPHA - DELTA

Như vậy trận thứ hai của VMF đã bắt đầu. Dưới đây là đề của 2 đội:

ĐỀ CỦA ALPHA

Câu 1 (THCS). Giải phương trình nghiệm nguyên dương: 

$\sqrt {x+ 2\sqrt 3} = \sqrt y+ \sqrt z$

Câu 2 (THCS). Dựng tam giác ABC, biết góc A vuông, cạnh BC có độ dài a, đường phân giác AP có độ dài p (a và p là các số dương cho trước)

Câu 3 (THPT). Giải hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}{x^3}y - {y^4} = 28\\{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3} = 18\sqrt 2\end{array} \right.$

Câu 4 (THPT). Cho các số thực a và b  thỏa mãn $1 \ne a > 0;1 \ne b > 0$ . Chứng minh rằng phương trình:

$\log _a^4y + \log _b^4x + 3\log _a^2x.\log _b^2y - 8{\log _a}y.{\log _b}x - 16\left( {\log _a^2y + \log _b^2x} \right) + 80 = 0$
 có hai nghiệm. Gọi hai nghiệm đó là (x_1; y₁);(x_2; y₂). Chứng minh: ${x_1} + {x_2} + {y_1} + {y_2} > 4$.

 Câu 5 (THPT). Cho Cho mặt phẳng (P), điểm A cố định trên (P) và một điểm B cố định không thuộc (P). Hãy tìm trên (P) một điểm M để tỷ số $\frac{{AB + AM}}{{BM}}$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 6 (Olympiad). Cho dãy số (u_n) xác định bởi công thức sau:

$\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = a \in \\{u_{n + 1}} = \frac{{u_n^2}}{2} - 1,\forall n \in {N*}\end{array} \right.$
 Hãy biện luận theo a sự hội tụ của dãy số và tính giới hạn của dãy số khi nó hội tụ.

ĐỀ CỦA DELTA:

Câu 1 ( Số học THCS): Chứng minh phương trình: $4mn-m-n=p^{2}-1$ có vô số nghiệm nguyên dương.

Câu 2 (Hình học THCS): Cho hình chữ nhật ABCD với AB < BC. Vẽ nửa đường tròn đường kính AB nằm trên nửa mặt phẳng chứa CD bờ là đường thẳng AB. M là điểm trên nửa đường tròn (M khác A và B). Các đường thẳng MA, MB cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại P, Q. Các đường thẳng MC, MD cắt đường thẳng AB theo thứ tự tại E, F. Xác định vị trí M trên nửa đường tròn để tổng PQ + EF đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó.

 Câu 3 (hình học THPT): Cho lục giác ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Thỏa mãn: AB=BC; CD=DE; EF=FA. Chứng minh: $S_{ACE}\leq S_{BDF}$.

 Câu 4 Giải tích THPT): Tìm $f: R \rightarrow R$ liên tục và thỏa mãn :

$f(x+2f(y)) = f(x)+y+f(y)$ với mọi $x,y \in R$.

 Câu 5 (Đại số THPT): Cho đa thức  $P(x)$ bậc 2011 với hệ số nguyên. Chứng minh đa thức $Q(x)=P^2(x)-9$ có không quá 2015  nghiệm nguyên.

 Câu 6( Số học Olympiad): Cho m và n là hai số nguyên dương thỏa mãn: $m<\frac{n^2}{4}$ 

 Chứng minh: $n! \vdots m$.

Bạn có thể vào link dưới đây để xem hai đội thi đấu: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=63841