[Đấu trường VMF 2011] Trận 5: DELTA - BETA

Đề của Delta cho Beta:

Câu 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R, ngoại tiếp đường tròn tâm I bán kính r. AB, BC tiếp xúc đường tròn tâm I này tại M, N . Đường thẳng MN lại cắt đường tròn tâm O, bán kính R tại P, Q. Chứng minh: PQ $\ge$ 2MN

Câu 2: So sánh: $300!$ và $100^{300}$

Câu 3: Chứng minh rằng, nếu $a; b ; c$ là những số thực dương, ta có:

$\sum _{cyc}\frac{2a^2 + bc}{a^2 + 2bc} \le \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{abc}}$

Câu 4: Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thoả mãn:

$\left ( x+y \right )\left ( f(x)-f(y) \right )=(x-y)f(x+y) \forall \ \ x;y \in \mathbb{R}$

Câu 5: Cho tam gíac ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Góc B lớn hơn góc C. Tiếp tuyến của đường tròn tại A giao với BC tại S. SO cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AB, AC. Chứng minh rằng: NE, MF, AO đồng quy

Câu 6: Xét 1 hoán vị $\left ( a_1 ; a_2 ;. ..;a_{100} \right )$ của tập hợp $\left \{ 1 ; 2 ;. ..; 100 \right \}$

Lấy 100 số $B_i$ dạng: $B_i = a_1 + a_2 +. ..a_i$. Chứng minh rằng tập hợp các số dư khi chia 100 số trên cho 100 có ít nhất 11 phần tử.

Đề thi của BETA:

Câu 1: (THCS) Tìm số dư của phép chia ${2222^{5555}} + {5555^{2222}}$ cho 7.

Câu 2: (THCS). Cho hình thang có diện tích bằng 1. Hỏi đường chéo hình thang có thể lấy giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu.

Câu 3: (THPT) Giả sử P là một điểm tuỳ ý trong tam giác ABC.
Kí hiệu $PA = {R_1},\,PB = {R_2},\,\,PC = {R_3}$, kí hiệu ${r_1},\,{r_2},\,{r_3}$ là khoảng cách từ P đến BC, AC, AB. Chứng minh bất đẳng thức sau:

$R_1^2{\sin ^2}A + R_2^2{\sin ^2}B + R_3^2{\sin ^2}C \le 3(r_1^2 + r_2^2 + r_3^2)$

Câu 4: (THPT). Cho tam giác ABC và các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh rằng:

$x{a^2} + y{b^2} + z{c^2} \ge 4\sqrt {xy + yz + zx} S$

Câu 5: (THPT) Tính: $\int \limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} \frac{dx}{tan^{\sqrt 3  + 5}x + 1}$.

Câu 6: (Olympiad)

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $V,M,F$ luôn tìm được số nguyên dương n sao cho số $A = {n^3} + V{n^2} + Mn + F$ không phải là số chính phương.

Bạn có thể vào: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=64798 để xem hai đội thi đấu.