Đề thi HSG 12 tỉnh Hải Dương 2011 - 2012

Câu 1 (2 điểm)
1. Cho hàm số $y = \frac{{x - 2}}{{x + 1}}$ có đồ thị là (C) và điểm M tùy ý thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm M cắt hai tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc vị trí điểm M.
2. Tìm m để hàm số $y = 9x + m\sqrt {x^2 + 9} $ có cực đại.

Câu 2 (2 điểm)
1. Giải phương trình $\sin ^{2012} x + \cos ^{2012} x = \frac{1}{{2^{1005} }}$
2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x + \sqrt {x^2 + 1} = y + \sqrt {y^2 - 1} \\ x^2 + y^2 - xy = 1 \\ \end{array} \right.$

Câu 3 (2 điểm)
1. Chứng minh $\tan x + \sin x \ge \frac{9}{2}x + \frac{3}{2}(\sqrt 3 - \pi ),\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)$. Từ đó suy ra trong mọi tam giác nhọn ABC ta có $\tan A + \tan B + \tan C + \sin A + \sin B + \sin C \ge \frac{{9\sqrt 3 }}{2}$
2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y = \sqrt {x + 4} + \sqrt {4 - x} - \sqrt {16 - x^2 } $.

Câu 4 (3 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = $a\sqrt 3$ và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.
1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a.
2. M và N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc các cạnh BC và DC sao cho $\widehat{MAN} = 45^0 $. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S.AMN.

Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh

$\frac{{a^2 + ab + 1}}{{\sqrt {a^2 + 3ab + c^2 } }} + \frac{{b^2 + bc + 1}}{{\sqrt {b^2 + 3bc + a^2 } }} + \frac{{c^2 + ca + 1}}{{\sqrt {c^2 + 3ca + b^2 } }} \ge \sqrt 5 (a + b + c)$

…………………Hết………………….