Xác định số hạng tổng quát của $(u_n)$ với $u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d}$

Xác định CTSHTQ của dãy số $(u_n)$ với 

$$u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d}, ad-bc \neq 0, n\ge 1$$

theo $u_1,a,b,c,d$

Xét phương trình (PT điểm bất động)

  $$x=\frac{ax+b}{cx+d}(*)$$

TH1: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$, khi đó ta tìm được 1 hằng số k để 

$$\frac{u_n-x_1}{u_n-x_2}=k.\frac{u_{n-1}-x_1}{u_{n-1}-x_2}$$
Thật vậy

$u_n-x_1=\frac{au_{n-1}+b}{cu_{n-1}+d}-x_1=\frac{au_{n-1}+b}{cu_{n-1}+d}-\frac{ax_1+b}{cx_1+d}=\frac{(ad-bc)(u_{n-1}-x_1)}{(cu_{n-1}+d)(cx_1+d)}$
$$u_n-x_2=\frac{(ad-bc)(u_{n-1}-x_2)}{(cu_{n-1}+d)(cx_2+d)}$$
Nên 
$$\frac{u_n-x_1}{u_n-x_2}=\frac{cx_2+d}{cx_1+d}.\frac{u_{n-1}-x_1}{u_{n-1}-x_2}=k.\frac{u_{n-1}-x_1}{u_{n-1}-x_2}, (k=\frac{cx_2+d}{cx_1+d})$$

Đặt 
$$v_n=\frac{u_n-x_1}{u_n-x_2}$$
Khi đó $(v_n)$ là cấp số nhân công bội $k$. Ta có:

$$v_n = v_1.k^{n-1} = \frac{u_1-x_1}{u_1-x_2}.k^{n-1}, \forall n \geq 1$$

TH2: Phương trình (*) có nghiệm kép $x_0$

Tương tự trên tìm được k để có $\frac{1}{u_n-x_0}=\frac{1}{u_{n-1}-x_0}+k$

Đặt $v_n=\frac{1}{u_n-x_0} \Leftrightarrow v_n=v_{n-1}+k$

Áp dụng CSC tìm được $v_n$ và suy được $u_n$

TH3: Phương trình (*) vô nghiệm. Trong trường hợp $u_{n+1}=\frac{au_n+b}{-bu_n+a}$ ta có thể chia cả tử và mẫu cho $a$ và đặt $\frac{b}{a}=\tan\alpha;u_n=\tan v_n, \forall n$, ta có:
$$\tan v_{n+1}=u_{n+1}=\frac{u_n+\frac{b}{a}}{1-\frac{b}{a}u_n}=\frac{\tan v_n+\tan \alpha }{1-\tan \alpha \tan v_n}=\tan (v_n+\alpha),\forall n$$
Do đó $(v_n)$ là cấp số cộng công bội $\alpha$. Từ đó dễ dàng suy ra $u_n$

Trong trường hợp dãy số không có tính chất trên, ta tìm hai số $p,q$ để dãy số $(v_n)$, với:
$$v_n=pu_n+q, \forall  n \geq 1$$
có tính chất như trên.