Loading web-font TeX/Main/Regular

Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2013

Thứ Sáu, 11 tháng 1, 2013

Thời gian:180 phút

Ngày thi thứ nhất: 11/01/2013

matholymiad
Bài 1(5,0 điểm):
Giải hệ phương trình sau:
\left\{\begin{matrix}\sqrt{\sin^2x+\frac{1}{\sin^2x}}+\sqrt{\cos^2y+\frac{1}{\cos ^2y}}=\sqrt{\frac{20y}{x+y}} \textbf{ (1)}\\ \sqrt{\sin^2y+\frac{1}{\sin^2y}}+\sqrt{\cos^2x+\frac{1}{\cos ^2x}}=\sqrt{\frac{20x}{x+y}} \textbf{ (2)} \end{matrix}\right.

Bài 2(5,0 điểm):
Cho dãy số xác định như sau:
\left \{ \begin{matrix} a_1&=&1 &\\a_{n+1}&=&3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}}&, \forall \geq 1 \end{matrix}\right. 
Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó

Bài 3(5,0 điểm):

Cho tam giác không cân ABC. Kí hiệu (I) là đường tròn tâm I nội tiếp tam giác ABCD,E,F là các tiếp điểm của (I) với BC,CA,AB. Đường thẳng qua E vuông góc BI cắt (I) tại K khác E, đường thẳng qua F vuông góc CI cắt (I) tại L khác F. Gọi J là trung điểm KL.
a) Chứng minh D,I,J thẳng hàng
b) Giả sử B,C cố định, A thay đổi sao cho tỷ số \frac{AB}{AC}=k không đổi. Gọi M,N tương ứng là các giao điểm IE, IF với (I) (M khác E, N khác F). MN cắt IB, IC tại P,Q. Chứng minh đường trung trực PQ luôn qua 1 điểm cố định

Bài 4(5,0 điểm): Cho trước một số số tự nhiên được viết trên một đường thẳng. Ta thực hiện các bước điền số lên đường thẳng như sau: tại mỗi bước, trước tiên xác định tất cả các cặp số kề nhau hiện có trên đường thẳng theo thứ tự từ trái qua phải, sau đó điền vào giữa mỗi cặp một số bẳng tổng của hai số thuộc cặp đó. Hỏi sau 2013 bước, số 2013 xuất hiện bao nhiêu lần trên đường thẳng trong các trường hợp sau:

   a) Các số cho trước là: 11000?
   b) Các số cho trước là: 1,2,...,1000 và được xếp theo thức tự tăng dần từ trái qua phải

Mời bạn thảo luận tại đây

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.