Processing math: 0%

Đề thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2013 ngày 2

Thứ Hai, 14 tháng 1, 2013



Thời gian:180 phút
Ngày thi thứ hai: 12/01/2013








Bài 5: (7,0 điểm)
Tìm tất cả hàm số f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} thỏa f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013
\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right) đúng với mọi x,y\in \mathbb{R}, trong đó {{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}

Bài 6: (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O)D thuộc cung BC không chứ điểm A. Đường thẳng \vartriangle thay đổi đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác ABH, ACH tại M,N (M,N khác H)
a)Xác định vị trí của đường thẳng \vartriangle để diện tích tam giác AMN lớn nhất
b)Kí hiệu d_1 là đường thẳng qua M vuông góc DB, d_2 là đường thẳng qua N vuông góc DC. Chứng minh giao điểm P của d_1d_2 luôn thuộc 1 đường tròn cố định

Bài 7: (6,0 điểm) 
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự \left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right) thỏa
\left \{ \begin{array}{l} ab + a'b' \equiv 1\textbf{(mod 15) (1)}\\ ac + a'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (2)}\\ bc + b'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (3)} \end{array} \right.
Với a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.