Thời gian:180 phút
Ngày thi thứ hai: 12/01/2013
Bài 5: (7,0 điểm)
Tìm tất cả hàm số f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} thỏa f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013 và
\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right) đúng với mọi x,y\in \mathbb{R}, trong đó {{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}
Bài 6: (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và D thuộc cung BC không chứ điểm A. Đường thẳng \vartriangle thay đổi đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác ABH, ACH tại M,N (M,N khác H)
a)Xác định vị trí của đường thẳng \vartriangle để diện tích tam giác AMN lớn nhất
b)Kí hiệu d_1 là đường thẳng qua M vuông góc DB, d_2 là đường thẳng qua N vuông góc DC. Chứng minh giao điểm P của d_1 và d_2 luôn thuộc 1 đường tròn cố định
Bài 7: (6,0 điểm)
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự \left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right) thỏa
Tìm tất cả hàm số f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} thỏa f\left( 0 \right)=0;f\left( 1 \right)=2013 và
\left( x-y \right)\left( f\left( {{f}^{2}}\left( x \right) \right)-f\left( {{f}^{2}}\left( y \right) \right) \right)=\left( f\left( x \right)-f\left( y \right) \right)\left( {{f}^{2}}\left( x \right)-{{f}^{2}}\left( y \right) \right) đúng với mọi x,y\in \mathbb{R}, trong đó {{f}^{2}}\left( x \right)={{\left( f\left( x \right) \right)}^{2}}
Bài 6: (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) và D thuộc cung BC không chứ điểm A. Đường thẳng \vartriangle thay đổi đi qua trực tâm H của tam giác ABC cắt đướng tròn ngoại tiếp tam giác ABH, ACH tại M,N (M,N khác H)
a)Xác định vị trí của đường thẳng \vartriangle để diện tích tam giác AMN lớn nhất
b)Kí hiệu d_1 là đường thẳng qua M vuông góc DB, d_2 là đường thẳng qua N vuông góc DC. Chứng minh giao điểm P của d_1 và d_2 luôn thuộc 1 đường tròn cố định
Bài 7: (6,0 điểm)
Tìm tất cả bộ sắp thứ tự \left( a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}} \right) thỏa
\left \{ \begin{array}{l} ab + a'b' \equiv 1\textbf{(mod 15) (1)}\\ ac + a'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (2)}\\ bc + b'c' \equiv 1\textbf{(mod 15) (3)} \end{array} \right.
Với a,b,c,{{a}^{'}},{{b}^{'}},{{c}^{'}}\in \left\{ 0,1...14 \right\}
0 comments:
Đăng nhận xét