Đề thi HSG trên MTCT lớp 12 tỉnh Lạng Sơn năm học 2012-2013

Thảo luận tại đây

Bài 1.Cho các hàm số $f(x) = \frac{{x^3 + 3x - 5}}{{x^2 + 1}}$ và $g(x) = \frac{{2\cos x}}{{1 + \sin ^4 x}}$

1) Tính các giá trị của các hàm hợp $g(f(x))$ và $f(g(x))$ tại $x = \sqrt[3]{5}$.

2) Tìm các nghiệm gần đúng của phương trình $f(x) = g(x)$ trên khoảng $(-5 ; 5)$.

Bài 2.Cho hàm số $y = \frac{{2x^2 + 5x - 7}}{{x^2 - x + 1}}(C)$

1) Xác định điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số và tính khoảng cách giữa các điểm cực đại và điểm cực tiểu đó.

2) Tìm tọa độ các điểm thuộc đồ thị hàm số (C) sao cho hoành độ thỏa mãn $y’’ = 0$.

Bài 3. Cho hình thang cân $ABCD$ biết $AB = 10 cm, AD = 7 cm, DC = 6 cm$. Gọi $O, O’$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

1) Xác định tâm, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình thang $ABCD$.

2) Tính diện tích xung quanh và thể tích hình tạo thành khi quay hình thang $ABCD$ quanh trục $OO’$.

Bài 4. Cho dãy số $u_n$ xác định bởi:

$$u_1 = 1;u_2 = 2;u_{n + 2} = \left\{\begin{matrix} 3u_{n + 1} + 2u_n & \textbf{ khi } n = 2k \\ 2u_{n + 1} + 3u_n + 1 & \textbf{ khi } n = 2k+1 \end{matrix}\right.$$

1) Viết quy trình bấm phím liên tục tính giá trị của $u_{10} ,u_{15} ,u_{20} $.

2) Gọi $S_n$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của dãy số. Tính $S_{10} ,S_{15} ,S_{20} $.

Bài 5. Tìm cặp số nguyên dương $x, y$ với $x$ nhỏ nhất thỏa mãn phương trình:

$$\sqrt[3]{{20x^2 + 11x + 1353}} + 22x^2 - 12x = 10y^2 + 133$$.

Bài 6. Người ta lát một bục hình tròn bán kính $1,4 m$ bằng các viên gạch hình lục giác đều cạnh $AB = 15 cm$. Hãy tính số gạch để phủ kín sân đó (không cắt gạch). 

BBT xin trân trọng cảm ơn thầy Hoàng Văn Thi - GV THPT Bình Gia - Lạng Sơn đã cung cấp cho chúng tôi đề thi này