Đề kiểm tra đội tuyển

Câu 1:

a) Giải phương trình $(2cos x-1)(sinx+cosx)=1$

b) Cho $a,b,c$ là số thực dương. Chứng minh rằng ta có

$$\frac{2}{(a+b)^2}+\frac{2}{(b+c)^2}+\frac{2}{(a+c)^2}\geq \frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}$$

Câu 2: Cho hàm số $y=x^3-3x+4$ có đồ thị là $(G)$

a) Tìm các điểm $M,N$ trên đồ thị $(G)$ sao cho điểm $I\left ( -\frac{1}{2};2 \right )$ là trung điểm $MN$.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(G)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $A(0;-6)$

Câu 3:

Cho dãy $a_n$ thoả $a_1=\frac{1}{2}$, $a_{n+1}=a_n+ \frac{a_n^2}{2013}$, $n \geq 1$ 

a) Chứng minh dãy tăng nhưng không bị chặn trên 

b) Đặt $S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+2013}.$ Tìm $\lim_{n\to +\propto} S_n$

Câu 4. Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right),n=1,2,3,...$ xác định bởi

$$\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}=1 \\ {{x}_{n+1}}=\sqrt{{{x}_{n}}\left( {{x}_{n}}+1 \right)\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}+3 \right)+1}\end{matrix} \right.,n=1,2,3,...$$
a) Chứng minh : $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=+\infty$
b) Tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}}$

Câu 5:  Giải phương trình: $2x^2+2x+5=(4x-1)\sqrt{x^2+3}$

Câu 6: Cho tứ diện $ABCD$ có 2 mặt $(ABC)$ và $(BCD)$ là 2 tam giác đều cạnh $a$, góc giữa $AD$ và $(ABC)$ là $45^o$.Tính thể tích tứ diện $ABCD$ theo $a$ và tính góc giữa $(ABC)$ và $(ABD)$