Câu 1:
a) Giải phương trình $(2cos x-1)(sinx+cosx)=1$
b) Cho $a,b,c$ là số thực dương. Chứng minh rằng ta có
$$\frac{2}{(a+b)^2}+\frac{2}{(b+c)^2}+\frac{2}{(a+c)^2}\geq \frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}$$
Câu 2: Cho hàm số $y=x^3-3x+4$ có đồ thị là $(G)$
a) Tìm các điểm $M,N$ trên đồ thị $(G)$ sao cho điểm $I\left ( -\frac{1}{2};2 \right )$ là trung điểm $MN$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(G)$ biết tiếp tuyến đi qua điểm $A(0;-6)$
Câu 3:
Cho dãy $a_n$ thoả $a_1=\frac{1}{2}$, $a_{n+1}=a_n+ \frac{a_n^2}{2013}$, $n \geq 1$
a) Chứng minh dãy tăng nhưng không bị chặn trên
b) Đặt $S_n=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i+2013}.$ Tìm $\lim_{n\to +\propto} S_n$
Câu 4. Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right),n=1,2,3,...$ xác định bởi
$$\left\{
\begin{matrix} {{x}_{1}}=1 \\ {{x}_{n+1}}=\sqrt{{{x}_{n}}\left(
{{x}_{n}}+1 \right)\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}+3
\right)+1}\end{matrix} \right.,n=1,2,3,...$$a) Chứng minh : $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=+\infty $
b) Tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}}$
Câu 5: Giải phương trình: $2x^2+2x+5=(4x-1)\sqrt{x^2+3}$
Câu 6: Cho tứ diện $ABCD$ có 2 mặt $(ABC)$ và $(BCD)$ là 2 tam giác đều cạnh $a$, góc giữa
$AD$ và $(ABC)$ là $45^o$.Tính thể tích tứ diện $ABCD$ theo $a$ và tính góc
giữa $(ABC)$ và $(ABD)$
Câu 1
a) Ta có:
$$PT \Leftrightarrow 2cos^2x -sinx-cosx+sin2x-1=0 $$
$$\Leftrightarrow sin\left ( 2x+\frac{\pi}{4} \right )=sin\left ( x+\frac{\pi}{4} \right )$$
$$\Leftrightarrow x \in \left \{ k2\pi;\frac{\pi}{3}+k\frac{2\pi}{3} \right \}, k \in \mathbb{Z}$$