Viết phương trình đường thẳng đi qua hai tiếp điểm

Bài toán:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu:

$$(S) : x^2 + y^2 + z^2 -2x - 4y + \frac{11}{3} = 0$$

và đường thẳng

$$(d) : \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z-2}{-1}$$

Gọi $M, N$ là các tiếp điểm của các mặt phẳng đi qua $(d)$ và tiếp xúc với $(S)$. Lập phương trình đường thẳng $MN$

Giải

Mặt cầu $(S)$ đã cho có tâm $I(1;2;0)$ và bán kính $R = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Đường thẳng $(d)$ đi qua $A(1;0;2)$ và có vector chỉ phương $\overrightarrow{n}=(2;1;-1)$.

Nếu $T(x_0;y_0;z_0)$ là tiếp điểm của $(S)$ thỏa mãn điều kiện đề bài thì ta có:

$$\begin{align}  \left\{\begin{matrix} \overrightarrow{IT}\perp \overrightarrow{n}\\ \overrightarrow{IT}\perp \overrightarrow{AT}\\T \in (S) \end{matrix}\right.  \Leftrightarrow & \left\{\begin{matrix} 2x_0+y_0-z_0-4=0\\ x_0^2+y_0^2+z_0^2-2x_0-2y_0-2z_0+1=0\\ x_0^2+y_0^2+z_0^2-2x_0-4y_0+\frac{11}{3}=0\end{matrix}\right. \\ \Rightarrow  & \left\{\begin{matrix}-y_0+z_0+\frac{4}{3}=0\\ 2x_0+y_0-z_0-4=0\end{matrix}\right. \end{align}$$  

Thay $z_0=t$ ta được:

$$\begin{equation} \left\{\begin{matrix}x_0 &=& \dfrac{4}{3} &\\  y_0&=&\dfrac{4}{3}&+t\\ z_0&=&&t  \end{matrix}\right. \label{eq:pt1} \end{equation}$$

Vậy tọa độ tiếp điểm $T$ luôn thỏa mãn phương trình trên. Do đó phương trình đường thẳng $MN$ cần tìm là:

$$\left\{\begin{matrix}x &=& \dfrac{4}{3} &\\ y&=&\dfrac{4}{3}&+t\\ z&=& &t \end{matrix}\right.$$

$\textbf{Nhận xét}$

Bài này là bài toán tương tự của đề thi ĐH khối B năm 2006