Processing math: 100%

\tan^3x - 2m \tan^2x - \tan x + m =0

Thứ Sáu, 9 tháng 5, 2014

Bài toán: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, phương trình sau luôn có nghiệm thuộc đoạn \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right):
\tan^3x - 2m \tan^2x - \tan x + m =0

Giải
ĐK: x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi.
Chọn a = \arctan \frac{1}{\sqrt{2}};b=-\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}. Dễ thấy a,b \in \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)

Hàm số f(x) = \tan^3x - 2m \tan^2x - \tan x + m liên tục trên [a;b]. Mà:
f(a)=-\frac{1}{2\sqrt{2}};f(b)=\frac{1}{2\sqrt{2}}
Tức là f(a)f(b)<0
Do đó theo hệ quả của định lý giá trị trung bình của hàm số liên tục, ta suy ra phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trên (a,b) \subset \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right) với mọi giá trị của m:

0 comments:

Đăng nhận xét

 
Copyright © 2012 Hoàng Ngọc Thế. All rights reserved. Ghi rõ nguồn Hoàng Ngọc Thế khi phát hành lại thông tin trên trang này.