$\tan^3x - 2m \tan^2x - \tan x + m =0$

Bài toán: Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, phương trình sau luôn có nghiệm thuộc đoạn $\left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$:

$$\tan^3x - 2m \tan^2x - \tan x + m =0$$

Giải

ĐK: $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Chọn $a = \arctan \frac{1}{\sqrt{2}};b=-\arctan \frac{1}{\sqrt{2}}$. Dễ thấy $a,b \in \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$. 

Hàm số $f(x) = \tan^3x - 2m \tan^2x - \tan x + m$ liên tục trên $[a;b]$. Mà:

$$f(a)=-\frac{1}{2\sqrt{2}};f(b)=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

Tức là $f(a)f(b)<0$. 

Do đó theo hệ quả của định lý giá trị trung bình của hàm số liên tục, ta suy ra phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm trên $(a,b) \subset \left( -\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2} \right)$ với mọi giá trị của $m$: