Đề thi Olympic 30/4 lớp 11 năm 2012

Bài 1:
Giải hệ phương trình sau: $$\begin{cases} x^3-y^3=9\\ 2x^2+y^2-4x+y=0\end{cases}$$


Bài 2: 
Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_1; x_{n+1}=\frac{x_n^4+9}{x_n^3-x_n+6}$
a) Chứng minh rằng $\lim x_n=+\infty$
b) Với mỗi số nguyên dương $n$ đặt $y_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k^3+3}$


Bài 3:
Cho tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ tâm $G$. Một đường $d$ thay đổi luôn đi qua $G$ và cắt các đường thẳng $BC, CA, AB$ lần lượt tại $M, N, P$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=GM.GN.GP$.


Câu 4: 
Tìm tất cả các cặp hàm số $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa các điều kiện sau:
i) $f(0)=g(0)=1; g(1)=2$
ii) $f(x)-f(y)=(x-y)g(x+y)$


Bài 5: 
Một số nguyên dương $n>1$ được gọi là hoàn toàn không chính phương nếu $n$ không có ước chính phương khác 1. Chứng minh rằng nếu $n$ là hợp số và $n-1$ chia hết cho $\varphi (n)$ thì $n$ hoàn toàn không chính phương và $n$ có ít nhất là 3 ước nguyên tố (trong đó $\varphi (n)$ là các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$).


Bài 6: 
Trên mỗi ô của một bảng $4x4$ ô vuông, người ta điền một trong hai số $1$ hoặc $-1$ sao cho tổng các số trong mỗi hảng và tring mỗi cột đều bằng 0. Hỏi có bao nhiêu cách điền như trên?

Theo diendantoanhoc.net