$x^{x+1}=(x+1)^x$

Bài toán: Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm duy nhất:

  $$x^{x+1}=(x+1)^x$$

Giải

ĐK: $x > 0$.

Xét hàm số 

$$g(x)=x^{x+1}-(x+1)^x$$

Dễ thấy hàm số liên tục trên $[1;3]$ và $g(1)g(3) < 0$.

Do đó phương trình có ít nhất 1 nghiệm trong $(1;3)$. 

Mặt khác:

$$PT\Leftrightarrow  (x+1)\ln x = x\ln(x+1) \Leftrightarrow \frac{\ln x}{x} = \frac{\ln (x+1)}{x+1}$$

Xét hàm số $f(t) = \frac{\ln t}{t}$. Ta có:

$$f'(t)=\frac{1-\ln t}{t^2}; f'(t)=0 \Leftrightarrow t=e$$

Dễ thấy hàm số liên tục và có đạo hàm trên $(0; +\infty)$

Hàm số đồng biến trong $(0;e)$ và nghịch biến trong khoảng $(e ; +\infty)$.

Do đó, trong các khoảng $(0;e-1)$ và $(e;+\infty)$, phương trình đã cho vô nghiệm.

Giả sử phương trình đã cho có nhiều hơn 1 nghiệm trong đoạn $[e-1;e]$. Tức là tồn tại hai số $a,b \in [e-1;e], a< b$ sao cho 
$$\begin{cases} f(a)=f(a+1) \\ f(b)=f(b+1)\end{cases}$$

Suy ra 
$$f(b)-f(a)=f(b+1)-f(a+1)$$

Khi đó tồn tại hai số $c\in (a;b)$ và $d \in(a+1;b+1)$, $c<e<d$ sao cho:

$$f'(c)(b-a)=f'(d)(b-a)$$

Hay $$f'(c)=f'(d)$$

Điều này là không thể do $f'(c)>0,f'(d)<0$.

Vậy phương trình có duy nhất 1 nghiệm