Bài I.3 - Sự tương giao của các đồ thị

Bài giảng này thuộc Khóa ôn thi ĐH 2013. Thảo luận và đặt câu hỏi tại đây

  - Xem bài giảng I.1 - I.2

  - Thông báo và lịch học

  - Đăng kí làm Giảng viên

  - Đăng kí làm học viên

 I – Lý thuyết:

1)  Sự tương giao của hai đồ thị:
Hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số $y = f(x)$ và $y = g(x)$ là nghiệm của phương trình:

$$f(x) = g(x), \ \ \ (*)$$

Từ đó suy ra số giao điểm của hai đồ thị đã cho bằng số nghiệm của phương trình $(*)$.

2)  Đường thẳng với hệ số góc:

Hệ số góc của đường thẳng là tang của góc tạo bởi phần đường thẳng phía trên $Ox$ và chiều dương trục $Ox$

Đường thẳng $y=ax+b$ có hệ số góc là $a$.

Đường thẳng có song song hoặc trùng với trục $Ox$ thì có hệ số góc bằng 0.

Đường thẳng có song song hoặc trùng với trục $Oy$ thì không có hệ số góc.

Đường thẳng đi qua $M(x_0 ;y_0)$ và có hệ số góc $k$ thì có phương trình $y = k(x – x_0) + y_0$.

Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc.

Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng $-1$.

3)  Định lý Bézout và lược đồ Horner:

Đa thức bậc $n$ là biểu thức có dạng $f(x) = a_nx^n + a_{n – 1}x^{n – 1} + ... + a_1x + a_0.$

Số $x_0$ được gọi là nghiệm của đa thức $f(x)$ nếu $f(x_0) = 0.$

Định lý Bézout: Nếu $x_0$ là một nghiệm của $f(x)$ thì tồn tại đa thức $g(x)$ sao cho:

$$f(x) = (x – x_0).g(x)$$

Lược đồ Horner dùng để chia đa thức $f(x)$ cho đa thức $x-\alpha$

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & a_n & a_{n-1} & … & a_1 & a_0 \\ \hline \alpha & b_n=a_n & b_{n – 1} = a_n \alpha + a_{n – 1} & … & b_1 & b_0 \\ \hline \end{array}$$

Khi đó:

$$f(x) = (x – \alpha)(a_nx^{n – 1} + ... + b_1) + b_0.$$

Đặc biệt, khi $\alpha$ là nghiệm của $f(x)$ thì $b_0=0$

4) Tam thức bậc hai: $f(x) = ax^2 + bx + c (a \neq 0).$
a) Định lí Viète:
Nếu $f(x)$ có hai nghiệm $x_{1}, x_{­2}$ thì
$$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}; x_1.x_2 = \frac{c}{a}$$ .
b) Nhận xét:
* $f(x)$ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $ac < 0$

* $f(x)$ có hai nghiệm dương khi và chỉ khi
$$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ - \frac{b}{a} > 0\\ \frac{c}{a} > 0 \end{array} \right.$$
* $f(x)$ có hai nghiệm âm khi và chỉ khi:
$$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ - \frac{b}{a} 0 \end{array} \right.$$
* $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt cùng lớn hơn $\alpha$ khi và chỉ khi:
$$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ x_1+x_2 > 2\alpha\\ (x_1-\alpha)(x_2-\alpha) > 0 \end{array} \right.$$
* $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt cùng nhỏ hơn $\alpha$ khi và chỉ khi:
$$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ x_1+x_2 0 \end{array} \right.$$
* $f(x)$ có hai nghiệm phân biệt, $x_1 < \alpha < x_2$ khi và chỉ khi:
$$\left\{ \begin{array}{l}{b^2} - 4ac > 0\\ (x_1-\alpha)(x_2-\alpha) < 0 \end{array} \right.$$

II – Các dạng toán thường gặp
1. Tìm điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất định

Trong đề thi ĐH một số năm gần đây, thường có câu phụ của bài toán khảo sát, yêu cầu tìm điều kiện của tham số để đồ thị và 1 đường thẳng cắt nhau thỏa mãn một số tính chất nhất định. Đối với các bài toán ấy, cách làm chung là ta xét phương trình $(*)$, biến đổi nó về dạng bậc hai và sử dụng định lý Viète. Ta hãy bắt đầu với 1 ví dụ đơn giản

Ví dụ 1.1. Xác định $m$ để đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số $y = (x – 1)(x^2 + mx + m)$ cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt.
Giải
   Hoành độ giao điểm của đồ thị $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ là nghiệm của phương trình :
$$(x – 1)(x^2 + mx + m) = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} + mx + m = 0 \ \ \ \ (1.1)\end{array} \right.$$ .
   Đồ thị $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1.1)$ có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này tương đương với:
  $$\left\{ \begin{array}{l}1 + m + m \neq 0\\m^2 - 4m > 0 \end{array} \right.$$

  $$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \neq - \frac{1}{2}\\ \left [ \begin{array}{l} m 4 \end{array} \right.\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}-\frac{1}{2} \neq m 4\end{array} \right.$$

Ví dụ 1.2. Cho hàm số $y = 2x^3 – 3x^2 – 1$ có đồ thị $\left ( C \right )$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $A(0;-1)$ và có hệ số góc bằng $k$. Tìm $k$ để $d$ cắt $\left ( C \right )$ tại 3 điểm phân biệt.
Giải

b) Đường thẳng $d$ có phương trình: $y = kx – 1$.
Hoành độ giao điểm của $\left ( C \right )$ và $d$ là nghiệm của phương trình:
$$2x^3 – 3x^2 – 1 = kx – 1$$
$$\Leftrightarrow x(2x^2 – 3x – k) = 0 \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = 0\\2{x^2} - 3x - k = 0 \ \ \ \ (1.2) \end{array} \right.$$
$\left ( C \right )$ và $d$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $(1.2)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}k \neq 0\\9 + 8k > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow -\frac{9}{8} < k \neq 0$$ .

Ví dụ 1.3. Cho hàm số $y = x^3 – (2m + 3)x^2 + (2m^2 – m + 9)x – 2m^2 + 3m – 7$ ($m$ là tham số) có đồ thị là $(C_m)$. Tìm $m$ để $(C_m)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ không nhỏ hơn 1.

Phân tích:
Ngoài việc tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm, ta còn cần tìm điều kiện để ba nghiệm không vượt quá 1. Dễ thấy, $x=1$ là một nghiệm của phương trình đó. Để hai nghiệm $x_1,x_2$ cùng lớn hơn 1 thì $x_1+x_2>2$ và $x_1.x_2>1$

Giải
Hoành độ giao điểm của đồ thị $(C_m)$ và trục hoành là nghiệm của phương trình:
$$x^3 – (2m + 3)x^2 + (2m^2 – m + 9)x – 2m^2 + 3m – 7 = 0$$
$$\Leftrightarrow (x-1)\left [ x^2-2(m+1)x+ 2m^2-3m+7 \right ]=0$$
$$\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=1\\ x^2-2(m+1)x+ 2m^2-3m+7=0, \ \ \ \ (1.3)\end{matrix}\right.$$
Yêu cầu bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình $(1.3)$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1. Điều này tương đương với:
$$\left\{\begin{matrix}\Delta '&>0\\x_1+x_2&>2 \\ x_1.x_2&>1\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-m^2+5m-6&>0\\2(m+1)&>2 \\ 2m^2-3m+7&>1\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2 < m 0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow 2 < m < 3$$

Ví dụ 1.4. Cho hàm số $y = x^3 – 3mx^2 + 3(2m – 1)x$ có đồ thị là $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ lập thành một cấp số cộng.

Phân tích:
Dễ thấy phương trình hoành độ giao điểm chắc chắn có nghiệm là $x=0$. Do đó có 2 trường hợp thỏa mãn điều kiện bài toán:
TH1: Ba hoành độ giao điểm lần lượt là $-a;0;a,(a>0)$. Trong trường hợp này hai nghiệm khác $0$ của phương trình đối nhau. Tức là tổng của chúng bằng $0$
TH2: Ba hoành độ giao điểm lần lượt là $0;a;2a,(a>0)$ hoặc $-2a,-a,0, (a>0)$. Trong trường hợp này hai nghiệm khác $0$ của phương trình có 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia.

Giải
Hoành độ giao điểm của $\left ( C \right )$ và trục $Ox$ là nghiệm của phương trình:
$$x^3 – 3mx^2 + 3(2m – 1)x = 0$$
$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 3mx + 3(2m - 1) = 0 \ \ \ \ (1.4) \end{array} \right.$$ .
Yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi xảy ra 1 trong 2 trường hợp sau:
TH1 : phương trình $(1.4)$ có hai nghiệm khác 0 và hai nghiệm đó đối nhau. Điều này tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}3m = 0\\2m - 1 \neq 0\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 0$$
TH2: phương trình $(1.4)$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_­2$ khác 0 và $x_1 = 2x_2.$ Điều này tương đương với:
$$\left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \neq 0\\{x_1} + {x_2} = 3{x_2}\end{array} \right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \neq 0\\3m = 3{x_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{m^2} - 12(2m - 1) > 0\\2m - 1 \ne 0\\ - 2{m^2} + 6m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow  m = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{2}$$ .
KL: $m = 0$ hoặc $m = \frac{{3 \pm \sqrt 3 }}{2}$.


Ví dụ 1.5. Cho $K(1;3), \left ( C \right )$ là đồ thị của hàm số $y = x^3 + 2mx^2 + (m + 3)x + 4$ và đường thẳng $d: y = x + 4$. Tìm $m$ để $d$ cắt $\left ( C \right )$ tại 3 điểm phân biệt $A(0;4), B, C$ sao cho $\Delta KBC$ có diện tích bằng $8\sqrt 2$.

Phân tích:
Ta biết rằng $S_{\Delta KBC} = \frac{1}{2}.BC.d_{K,BC}$. Mà $d_{K,BC}$ dễ dàng tính được. Từ đó ta tính được độ dài $BC$. Độ dài này hoàn toàn phụ thuộc vào hoành độ của $B,C$ (cũng chính là 2 nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm). Ta dễ dàng liên hệ với định lý Viète.

Giải
Hoành độ giao điểm của $d$ và $\left ( C \right )$ là nghiệm của phương trình:
$$x^3 + 2mx^2 + (m + 3)x + 4 = x + 4$$
$$\Leftrightarrow x(x^2 + 2mx + m + 2) = 0 \Leftrightarrow \left [ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0 \ \ \ \ (1.5)\end{array} \right.$$
Điều kiện cần và đủ để $\left ( C \right )$ và $d$ cắt nhau tại 3 điểm phân biệt là phương trình $(1.5)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0. Điều này tương đương với:
$$\left \{ \begin{array}{l}m + 2 \neq 0\\m^2 - m - 2 > 0\end{array} \right. (1.5')$$
Với điều kiện $(1.5')$, ta có hai giao điểm $B(x_B; x_B + 4)$ và $C(x_C; x_C + 4)$. Gọi $KH$ là đường cao của tam giác $KBC$. Khi đó:
$$KH = d_{(K, BC)} = \frac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \sqrt{2}$$
Từ đó, ta có:
$$BC = \frac{2S_{\Delta KBC}}{KH} = 16$$
$$BC = 16 \Leftrightarrow  \sqrt2 |x_B – x_C | = 16 \Leftrightarrow  (x_B – x_C)^2 = 128 \Leftrightarrow  m^2 – m – 34 \Leftrightarrow  m = \frac{1 \pm \sqrt {137}}{2}$$ .
KL: nghiệm của bài toán là: $m = \frac{{1 \pm \sqrt {137}}}{2}$

Ví dụ 1.6. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=x^{3}-3(m+1)x^{2}+3mx-m+1=0$ cắt $Ox$ tại $3$ điểm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ điểm có hoành độ âm.

Phân tích:
Trực tiếp tìm điều kiện để 1 phương trình có 3 nghiệm phân biệt, có ít nhất 1 nghiệm âm e là hơi khó. Ta sẽ tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm không âm. Khi đó, yêu cầu của bài toán chính là phần bù của điều kiện vừa tìm.
Do hệ số của $x^3$ dương nên ta có 2 trường hợp sau:

Trong cả hai trường hợp trên, $y(0) \leq 0$ và $y_{CD}, y_{CT}$ trái dấu, thêm nữa, các điểm cực đại, cực tiểu đều dương. Như vậy ta đã tạm hình dung ra điều kiện cần giải quyết.

Giải
Yêu cầu của bài toán tương đương với Tìm $m$ phương trình
$$x^{3}-3(m+1)x^{2}+3mx-m+1=0 \ \ \ \ (1.6)$$
có $3$ nghiệm phân biệt trong đó có ít nhất $1$ nghiệm âm.

Ta có:
$$y'=3x^2-6(m+1)x+3m; y = \frac{1}{3}y'(x-m-1)-2(m^2+m+1)x+m^2+1$$
$y'$ là tam thức bậc hai có:
$$\Delta = 9(m^2+m+1)>0$$
Vậy phương trình $y'=0$ luôn có hai nghiệm $x_1;x_2$

Điều kiện cần và đủ để phương trình $(1.6)$ có 3 nghiệm phân biệt là
$$y(x_1).y(x_2) 0 \ \ \ (1.6a)$$
Với điều kiện $(1.6a)$, phương trình $(1.6)$ có 3 nghiệm không âm khi và chỉ khi:
$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y(0) \leq 0}\\{{x_1}.{x_2} > 0}\\{{x_1} + {x_2} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}- m + 1 \leq 0\\m > 0\\2\left( {m + 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \geq 1\\m > 0\\m > - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m \geq 1$$
Vậy yêu cầu của bài toán được thỏa mãn khi và chỉ khi:
$$\left\{\begin{matrix} m & < 1\\ (1.6a) \end{matrix}\right. \ \ \ (1.6b)$$
Xét hàm số $g(m) = m^3-m^2-m-3$, bằng cách lập bảng biến thiên của hàm số:

$$\begin{array}{|c|ccccccccc|} \hline m & -\infty & \; & - \dfrac{1}{3} & \; & \; & 1 &\; &\; +\infty \\ \hline g'\left( m \right) & \; & + & 0 & - & \; & 0 \; & + &\; \\ \hline & \;& \; & \; - \frac{{76}}{{27}} & \; & \; & \; & \; & \; +\infty \\ g\left( m \right) & \; & \nearrow& \; & \searrow & \; & \; & \nearrow & \; \\ & -\infty\; & \; & \; & \; & \; & -4 & \; \\ \hline \end{array}$$

Ta có:
$$g(m) < 0, \forall m \leq 1$$
Từ đó, ta có
$$(1.6b) \Leftrightarrow -1 < m  < 1$$

Ví dụ 1.7. Cho đường thẳng $(d):y=x+m$ và đồ thị $(G):y=\frac{2x+1}{x-1}$
a) CMR: Với mọi $m$,$(d)$ luôn cắt $(G)$ tại 2 điểm phân biệt $E,F$.Tìm tập hợp các trung điểm của đoạn $EF$ khi $m$ thay đổi
b) Xác định $m$ để đoạn $EF$ ngắn nhất

Phân tích:
a) Ta chỉ cần chứng minh phương trình hoành độ giao điểm luôn có 2 nghiệm phân biệt là xong
b) Ta sẽ biểu diễn độ dài $EF$ qua $m$. Muốn vậy, cần dùng định lý Vi-et

Giải
a) Hoành độ giao điểm (nếu có) của $(G)$ và $(d)$ là nghiệm của phương trình:
$$\dfrac{2x+1}{x-1} = x+m,\,\,\,\, (1.7a)$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x \neq 1\\x^2+(m-3)x-m-1=0,\,\,\, (1.7b)\end{matrix}\right.$$
Ta có:
$$\Delta = m^2-2m+10>0$$
Nên phương trình $(2)$ có 2 nghiệm phân biệt. Dễ thấy $x=1$ không phải là nghiệm của $(1.7b)$. Từ đó, phương trình $(1.7a)$ có 2 nghiệm phân biệt. Vậy $(G)$ và $(d)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt:
$$E\left ( e;e+m \right ),F\left ( f;f+m \right )$$
trong đó $e,f$ là các nghiệm của $(1.7b)$. Ta có:
$$e+f=-m+3$$
Trung điểm của $EF$ là: $H\left ( \frac{e+f}{2}; \frac{e+f}{2}+m \right )$ hay: $H\left ( \frac{3-m}{2}; \frac{m+3}{2}\right )$. Vậy quỹ tích cần tìm là đường thẳng: $y=3-x$

b) Ta có:
$$EF=\sqrt{2(e-f)^2}=\sqrt{2(e+f)^2-8ef} = \sqrt{2(3-m)^2+8(m+1)}=\sqrt{2(m^2-2m+13}$$
Vậy
$$minEF=\sqrt{24} \Leftrightarrow m = 1$$

Bài tập tự luyện
1.1) D-2006. Tương ví dụ 2 với $y = x^3 – 3x + 2$ và $A(3;20)$. (ĐA: $k \neq 24$ và $k > \frac{15}{4}$).

1.2) Xác định $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – mx^2 + m – 1$ cắt trục $Ox$ tại 4 điểm phân biệt. (ĐA: $m \neq 2, m>1$)

1.3) D-2003. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - 2x + 4}}{{x - 2}}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ và đường thẳng $d: y=mx+2-2m$ cắt nhau tại 2 điểm phân biệt. (ĐA: $m > 1$).

1.4) A-2003. Cho hàm số $y = \frac{{m{x^2} + x + m}}{{x - 1}}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ cắt $Ox$ tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. (ĐA: $-\frac{1}{2} < m < 0$).

1.5) A-2004. Cho hàm số $y = \frac{{ - {x^2} + 3x - 3}}{{2(x - 1)}}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để đường thẳng y = $m$ cắt $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $AB = 1$. (ĐA: $m = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}$).

1.6) D-2008. Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 4$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số trên.
b) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua $I(1;2)$ có hệ số góc $k > -3$ đều cắt $\left ( C \right )$ tại 3 điểm phân biệt $A, B, I$ và $I$ là trung điểm $AB$.

1.7) D-2009. Cho hàm số $y = x^4 – (3m + 2)x^2 + 3m$ có đồ thị là $(C_m)$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi $m = 0$.
b) Tìm $m$ để đường thẳng $y = -1$ cắt $(C_m)$tại 4 điểm phân biệt có hoành độ bé hơn 2.
(ĐA:$m \neq 0,-\frac{1}{3} < m < 1$).

1.8) Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + mx - 1}}{{x - 1}}$ có đồ thị là $\left ( C \right )$. Tìm $m$ để đường thẳng y = $m$ cắt $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho $OA \perp OB$. (ĐA: $m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{2}$).

1.9) Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}$ và hai đường thẳng $d_1: y = - x + m, d_2: y = x + 3$. Tìm $m$ để $\left ( C \right )$ cắt $d_1$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ đối xứng với nhau qua $d_2$. (ĐA: $m$ = 9).

1.10) Cho hàm số $y = x + \frac{4}{x}$ có đồ thị $\left ( C \right )$. Chứng minh rằng đường thẳng $y = 3x + m$ luôn cắt $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A, B$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$. Tìm $m$ để $I$ thuộc đường thẳng $y=2x+3$. (ĐA: $m = 4$)

1.11) Tìm tất cả các đường thẳng đi qua $A(4;4)$ và cắt đồ thị hàm số $y = x^3 – 6x^2 + 9x$ tại 3 điểm phân biệt. (ĐA: $y = kx – 4k + 4, 9 \neq k > 0$).

1.12) Tìm $a$ để đồ thị hàm số $y = x^3 – 3ax^2 + 4a^3$ cắt đường thẳng $y = x$ tại 3 điểm phân biệt cách đều nhau. (ĐA: $a = 0, a = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$).

1.13) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, đường thẳng $y = 2x + m$ luôn cắt đồ thị hàm số $y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}$ tại hai điểm phân biệt $M, N$. Tìm $m$ để $MN$ bé nhất. (ĐA: $m = 3$).

1.14) Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y = x^4 – (2m + 1)x^2 + 2m$ cắt trục $Ox$ tại bốn điểm phân biệt cách đều nhau. (ĐA: $m = \frac{9}{2}$ hoặc $m = \frac{1}{18}$)

1.15) Tìm $m$ để đồ thị hàm số sau cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt: $y = x^3 – 3m^2x + 2m$.
(ĐA: $m = \pm 1$).

1.16) Cho hàm số $y = x^4 + 2(2a + 1)x^2 – 3a$ có đồ thị là $\left ( C \right )$. Tìm $a$ để $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại 4 điểm tạo thành 3 đoạn thẳng bằng nhau. (ĐA: $a = -3$).

1.17) Cho hàm số $y=x^4-3x^2-2$ có đồ thị là $\left( C \right)$. Tìm các giá trị của $m>0$ để đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị hàm số $\left( C \right)$ tại $2$ điểm $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$.

1.18) Hàm số $y = x^4 – 4x^2 + m$ $\left ( C \right )$.
Giả sử $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Xác định $m$ sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị $\left ( C \right )$ và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau.

1.19) B-2010. Cho hàm số $y =\frac{{2x + 1}}{{x + 1}},\left ( C \right )$. Tìm $m$ để đường thẳng $y = -2x+m$ cắt đồ thị $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $\sqrt 3$ ($O$ là gốc tọa độ).

1.20) A – 2010. Cho hàm số $y = x^3 – 2x^2 + (1 – m)x + m$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số
b) Tìm $m$ để đồ thị $\left ( C \right )$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ $x_1, x_2, x_3$ sao cho $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 < 4$.

1.21) Cho hàm số $y=x^{4}+2mx^{2}-m+1$,có đồ thị $\left ( C \right )$.Tìm $m$ để đồ thị hàm số trên cắt trục hoành tại bốn điểm có hoành độ $x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}$ sao cho $x_{1}^{4}+x_{2}^{4}+x_{3}^{4}+x_{4}^{4}\leq 20$

1.22) Cho hàm số: $y=\frac{x+2}{2x+1}$. Với giá trị nào của $m$ thì đường thẳng $d_{m}$: $y=mx+m-1$ cắt đồ thị tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của đồ thị.

1.23) cho hàm số $y=x^{3}-3x^{2}-3mx+3m$,có đồ thị $\left( C \right)$.Tìm $m$ để $\left( C \right)$ cắt đường thẳng $d:y=-3x-1$ tại ba điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2,x_3$ sao cho $x_1 < 1 < x_2 < 2 < x_3$

1.24) Cho đường cong $\left( C \right): y= \frac{2x + 1}{x+1}$ . Tìm $m$ để đường thẳng $(d): y= -2x +m$ cắt $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $A,B$ sao cho diện tích tam giác $AOB$ nhỏ nhất.

1.25) D-2011. Cho hàm số $\frac{2x+1}{x+1}$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Tìm $k$ để đường thẳng $y=kx+2k+1$ cắt đồ thị $\left ( C \right )$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho khoảng cách từ $A$ và $B$ đến trục hoành bằng nhau.

2. Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình:
Dạng toán này ít gặp trọng đề thi ĐH, vì nó tương đối dễ. Dưới đây là một vài ví dụ.

Ví dụ 2.1. Cho hàm số $y=x^3-x$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $x^3-x=m^3-m \ \ \ \ (2.1)$.
Giải
a)Đồ thị:


Số nghiệm của phương trình $(2.1)$ bằng số giao điểm của đồ thị $\left ( C \right )$ và đường thẳng $y=m^3-m$. Ta có các trường hợp sau:
* TH1: $\left [ \begin{matrix}m^3-m2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}m2 \end{matrix}\right.$ Khi đó phương trình $(2.1)$ có đúng 1 nghiệm duy nhất.

*TH2: $\left [ \begin{matrix}m^3-m=-2\\m^3-m=2 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}m=\pm 2\\m = \pm 1 \end{matrix}\right.$. Khi đó phương trình $(2.1)$ có 2 nghiệm phân biệt

*TH3: $-2<m^3-m<2 leftrightarrow="" left="" begin="" matrix="" -2="" m="" 2="" neq="" pm="" 1="" end="" right="" khi="" ph="" ng="" tr="" nh="" c="" 3="" nghi="" n="" bi="" t="" span="">

Ví dụ 2.2. Cho hàm số $y=x^3+3x^2-4$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $\left |x^3+3x^2-4  \right |=m \ \ \ \ (2.2)$.
Giải
a) Đồ thị:

b) Đặt $f(x)=x^3+3x^2-4$. Ta có:
$$g(x)=\left |x^3+3x^2-4  \right | = \left | f(x) \right | = \left\{\begin{matrix} f(x)&\textrm{khi } f(x) \geq 0\\ -f(x)&\textrm{khi } f(x) < 0\end{matrix}\right.$$
Như vậy, muốn vẽ đồ thị hàm số $y=g(x)$, ta làm như sau:
- Giữ nguyên phần phía trên trục $Ox$ của đồ thị $\left ( C \right )$,
- Lấy đối xứng phần phía dưới $Ox$ của $\left ( C \right )$ qua $Ox$
- Xóa phần phần phía dưới $Ox$ của $\left ( C \right )$.
Ta có đồ thị hàm số $y=g(x)$ là đường màu xanh trong hình sau:

Số nghiệm của phương trình $(2.2)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=g(x)$ và đường thẳng $y=m$. Ta có các trường hợp sau:
* TH1:Nếu $m<0$ th="" ph="" ng="" tr="" nh="" 2="" v="" nghi="" m="" span="">
*TH2: Nếu $m=0$ hoặc $m>4$ thì phương trình $(2.2)$ có đúng 2 nghiệm phân biệt
*TH3: Nếu $0<m<4$ th="" ph="" ng="" tr="" nh="" 2="" c="" 4="" nghi="" m="" n="" bi="" t="" span="">
*TH4: Nếu $m=4$ thì phương trình $(2.2)$ có đúng 3 nghiệm.

Câu hỏi: Để vẽ đồ thị hàm số $y=|f(x)|$ khi biết đồ thị $y=f(x)$, ta làm thế nào?

Ví dụ 2.3. Cho hàm số $y=-x^3+ 3x^2-4x+2$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $-|x|^3+ 3x^2-4|x|+2 = m \ \ \ \ (2.3)$.
Giải
a) Đồ thị

b) Đặt $g(x)=-|x|^3+ 3x^2-4|x|+2$. Dễ thấy hàm số $y=g(x)$ là hàm số chẵn. Mặt khác, $g(x) = f(x), \textrm{khi } x \geq 0$. Do đó để có đồ thị hàm số $y=g(x)$, ta làm như sau:
- Xóa bỏ phần bên trái trục $Oy$ của $\left ( C \right )$, giữ nguyên phần bên phải
- Lấy đối xứng phần bên phải của $\left ( C \right )$ qua $Oy$.
Ta có đồ thị hàm số $y=g(x)$ màu đỏ trong hình sau:

Số nghiệm của phương trình $(2.3)$ bằng số giao điểm của đô thị $y=g(x)$ và đường thẳng $y=m$. Ta có các trường hợp sau:
* TH1: Nếu $m>2$ thì phương trình $(2.3)$ vô nghiệm
* TH2: Nếu $m=2$ thì phương trình $(2.3)$ có nghiệm duy nhất $x=0$
* TH3: Nếu $m<2$ th="" ph="" ng="" tr="" nh="" 2="" 3="" c="" nghi="" m="" n="" bi="" t="" span="">

Câu hỏi: Để vẽ đồ thị hàm số $y=f(|x|)$ khi biết đồ thị $y=f(x)$, ta làm thế nào?

Ví dụ 2.4. Cho hàm số $y=-x^3+3x^2+4$.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy vẽ đô thị $\left ( C' \right )$ của hàm số $|y|=-x^3+3x^2+4$.
Giải
a) Đồ thị:

b) Ta có:
$$y = f(x) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f(x) \geq 0\\ \left[ \begin{array}{l} y = f(x)&\textrm{khi } y \geq 0\\y =  - f(x)&\textrm{khi } y < 0\end{array} \right. \end{array} \right.$$
Vậy để vẽ đồ th ị$\left ( C' \right )$, ta làm như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị $\left ( C \right )$ nằm phía trên trục hoành
- Bỏ phần đồ thị $\left ( C \right )$ dưới trục hoành
- Lấy đối xứng phần phía trên $Ox$ qua $Ox$
Đồ thị $\left ( C' \right )$  là đường cong màu đỏ trên hình vẽ


Câu hỏi: Để vẽ đồ thị hàm số $|y|=f(x)$ khi biết đồ thị $y=f(x)$, ta làm thế nào?

Ví dụ 2.5. Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left ( C \right )$ của hàm số.
b) Dựa vào đồ thị $\left ( C \right )$ hãy biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của phương trình: $\frac{|x-2|}{x+1} =m \ \ \ \ (2.5)$.
Giải
a) Đồ thị

b) Đặt $f(x)=\frac{x-2}{x+1}$. Ta có:

$$g(x)=\frac{|x-2|}{x+1}=\left\{\begin{matrix}f(x)& \textrm{khi }x \geq 2\\- f(x)& \textrm{khi }x < 2\\ \end{matrix}\right.$$
Từ đó, để vẽ đồ thị $y=g(x)$, ta làm như sau:
- Giữ nguyên phần đồ thị $\left ( C \right )$ ở bên phải đường thẳng $x=2$
- Lấy đối xứng phần đồ thị $\left ( C \right )$ ở bên trái đường thẳng $x=2$ qua $Ox$
- Xóa bỏ phần đồ thị $\left ( C \right )$ ở bên trái đường thẳng $x=2$
Đồ thị hàm số $y=g(x)$ chính là đường cong màu xanh trong hình vẽ


Số nghiệm của phương trình $(2.5)$ bằng số giao điểm của đồ thị hàm số $y=g(x)$ và đường thẳng $y=m$. Ta có các trường hợp sau:
* TH1: Nếu $m < - 1$ hoặc $m\geq 1$ thì phương trình $(2.5)$ có 1 nghiệm.
* TH2: Nếu $-1 \leq m <0$ th="" ph="" ng="" tr="" nh="" v="" nghi="" m="" span="">
* TH3: Nếu $2 \leq m < 1$ thì phương trình có 2 nghiệm

Bài tập tự luyện
2.1) A- 2006. Cho hàm số $y=2x^3-9x^2+12x-4$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm $m$ để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
$$3|x|^3 - 9x62 + 12|x| = m$$

2.2) B-2009. Cho hàm số $y=2x^4-4x^2$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm $m$ để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
$$x^2|x^2-2|=m$$

2.3) A-2002. Cho hàm số $y=-x^3+3mx^2+ 3(1-m^2)x+m^3-m^2$
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với $m=1$
b) Tìm $k$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
$$-x^3+3x^2+k^3-3k^2=0$$

2.4)Tìm $m$ để phương trình $(x^2+1)(x+\sqrt{3})|x-\sqrt{3}|=m$ có đúng 3 nghiệm.

2.5) Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: $x+1=m|2x-1|$ thoả mãn điều kiện $|x|>=1$

2.6) Biện luận theo $m$ số nghiệm của phương trình: $|-|x|+2|=m|x|+m$