Bài giảng I.2 - Cực trị của hàm số (phần 2)

II - Bài toán cực trị với hàm đa thức bậc 4 trùng phương:

Kiến thức bổ sung:

$$y=ax^4+bx^2+c\Rightarrow y'=4ax^3+2bx=2x(2ax^2+b)\;(a \neq 0)$$

$$y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x^{2}=\frac{-b}{2a} \end{array} \right.$$

Số lượng điểm cực trị:

- Nếu $y’ = 0$ có ba nghiệm phân biệt ($\frac{-b}{2a}>0$) thì hàm số có ba điểm cực trị.

- Nếu $y’ = 0$ có một nghiệm x = 0 ($\frac{-b}{2a} \leq 0$) thì hàm số chỉ có một điểm cực trị.

Tính chất:

Khi hàm số có 3 điểm cực trị: $A(0;c),B(\sqrt{-\frac{b}{2a}};y_1),C(-\sqrt{-\frac{b}{2a}};y_2)$ thì:

- Ta tính được: $y_1=y_2$

- $B$ và $C$ đối xứng nhau qua trục $Oy$, Điểm $A$ nằm trên trục $Oy$ do đó tam giác $ABC$ cân tại $A$.

Ví dụ 2.1: Cho hàm số: $y=x^4-2(m+1)x^2+m^2$

Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông.

Phân tích:

Trước hết các em vẫn cần hình dung bài toán có hai yêu cầu và thực hiện từng yêu cầu trong khả năng của mình, khó khăn nếu có thì nằm ở yêu cầu thứ hai "là ba đỉnh của tam giác vông"

Cần chú ý rằng nếu một tam giác cân mà vuông thì nó phải vuông tại đỉnh của tam giác cân đó. Thứ hai cần xử lí thông tin tam giác vuông như thế nào? Có nhiều cách:

Tam giác $ABC$ vuông  tại $A$ $\Leftrightarrow AB\perp AC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Leftrightarrow AB^2+AC^2=BC^2$

LG:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$$y'=4x^3-4(m+1)x\\y'=0\Leftrightarrow 4x(x^2-m-1)=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=0\\x=m+1\end{matrix}\right.$$

Để hàm số có ba điểm cực trị thì $y'=0$ phải có ba nghiệm phân biệt

$$\Leftrightarrow m+1>0\Leftrightarrow m>-1$$

Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là: $A(0;m^2),B(\sqrt{m+1};-2m-1),C(-\sqrt{m+1};-2m-1)$

Ta thấy: Điểm $B$ và $C$ đối xứng nhau qua trục $Oy$ và điểm $A$ nằm trên trục $Oy$ do đó tam giác $ABC$ cân tại $A$

Để tam giác $ABC$ vuông thì nó phải vuông tại $A$ $\Leftrightarrow AB\perp AC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$ (*)

$$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{m+1};-(m+1)^2);AC=(-\sqrt{m+1};-(m+1)^2)$$

$$(*) \Leftrightarrow -(m+1)+(m+1)^4=0\Leftrightarrow (m+1)((m+1)^3-1)=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix} m=1\;(\text{loại})\\m=0\;(\text{thỏa mãn})\end{matrix}\right.$$

Vậy với $m = 0$ thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Nhận xét: Nếu cảm thấy lập luận chứng minh tam giác $ABC$ cân như trên khiến các em thấy "khó chịu" thì các em hoàn toàn có thể thực hiện theo cách rất tự nhiên đó là lần lượi tính độ dài các cạnh và chỉ ra được $AB = AC$ sau đó khi đã có độ dài các cạnh thì các em có thể xử lí thông tin tam giác $ABC$ vông tại $A$ bằng cách sử dụng định lí Pitago: $AB^2+AC^2=BC^2$.

Ví dụ 2.2: Cho hàm số: $y=x^4-2mx^2+2m+m^4$

Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích $S=4$

Phân tích:

Vấn đề cần xử lí thông tin diện tích tam giác $S=4$

Ta đã biết nếu hàm số này có ba điểm cực trị $A, B, C$ thì ba điểm cực trị đó tạo thành tam giác cân (giả sử tại $A$), điều này có làm cho việc tính diện tích trở lên dễ dàng hay không?

Tam giác $ABC$ cân tại $A$, thế thì nếu $M$ là trung điểm của $BC$ thì $AM\perp BC\perp S_{ABC}=\frac{1}{2}AM.BC$, tọa độ các điểm $A, B, C$ đã biết, tọa độ $M$ ta tìm được (là trung điểm $BC$) do đó ta tính được diện tích tam giác $ABC$, từ đó "ép" cho nó bằng 4 thì ta sẽ tìm được m thỏa mãn điều kiện bài toán.

LG:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$$y'=4x^3-4mx\\y'=0\Leftrightarrow 4x(x^2-m)=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=0\\x^2=m\end{matrix}\right.$$

Để hàm số có ba điểm cực trị thì $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0$

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A(0;2m+m^4),B(\sqrt{m};m^4-m^2+2m),C(-\sqrt{m};m^4-m^2+2m)$

Ta thấy: Hai điểm $B, C$ đối xứng nhau qua trục $Oy$, điểm $A$ nằm trên trục $Oy$, do đó tam giác $ABC$ cân tại $A$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ suy ra $AM$ là trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác $ABC$

$$\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}AM.BC=4\;(*)$$

Ta có: $M(0;m^4-m^2+2m)$

$$\overrightarrow{AM}=(0;-m^2)\Rightarrow AM=m^2\\

\overrightarrow{BC}=(-2\sqrt{m};0)\Rightarrow BC=2\sqrt{m}$$

$$(*) \Leftrightarrow \frac{1}{2}m^2.2\sqrt{m}=4\Leftrightarrow m^2\sqrt{m}=4\Leftrightarrow m^5=16 \Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}m=\sqrt[5]{16}\;\text{thỏa mãn}\\m=-\sqrt[5]{16}\;\text{loại}\end{matrix}\right.$$

Vậy với $m=\sqrt[5]{16}$ thì thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 2.3: Cho hàm số: $y=x^4-2mx^2+m-1$

Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị, sao cho đường tròn đi qua ba điểm cực trị đó có bán kính bằng 1

Phân tích:

Giả sử ba điểm cực trị là $A, B, C$ và tam giác $ABC$ cân tại $A$. Khi đó tâm $I$ đường tròn $\left ( C \right )$ qua ba điểm cực trị (chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$) sẽ nằm trên trục $Oy$ ($Oy$ là đường trung trực của $BC$)

Do đó để đường tròn $\left ( C \right )$ có bán kính bằng 1 thì điều kiện tương đương sẽ là: $IA=IB=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}IA=1\\IB=1\end{matrix}\right.$

Giải hệ điều kiện này ta sẽ tìm được $m$.

LG:

TXĐ: $D = \mathbb{R}$

$$y'=4x^3-4mx=4x(x^2-m)\\y'=0\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}x=0\\

x^2=m\end{matrix}\right.$$

Để hàm số có ba điểm cực trị thì $y'=0$ có ba nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m>0$

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $A(0;m-1),B(-\sqrt{m};-m^2+m-1),C(\sqrt{m};-m^2+m-1)$

$$\begin{array}{c|cccccccccccc}

x  & -\infty & \; & \; & -\sqrt{m} & \; & \;& 0 & \; & \;&\sqrt{m}  & \; &  +\infty\\

\hline

y' & \;  & -  & \; & 0 & &+ & 0 & &- &0&+\; \\

\hline

\;  & +\infty\; & \; &  &  & \; & \; & m-1 &\; &\;&&&  +\infty\\

y & & \searrow  &  \; && \;  &  \nearrow & \; & \searrow & \;&& \nearrow \\

\quad &  & &  &-m^2+m-1 & & \; & \: & \; &&  -m^2+m-1

\end{array}$$

[attachment=11702:Capture.PNG]

Ta thấy: $B$ và $C$ đối xứng nhau qua trục $Oy$,  $Oy$ là đường trung trực của $BC$. Do đó tâm $I$ của đường tròn $\left ( C \right )$ qua ba điểm cực trị $A, B, C$ sẽ nằm trên $Oy$ và nằm bên dưới điểm $A$. Giả sử $I(0;k),(k<m-1)$

Để $\left ( C \right )$ có bán kính bằng 1 thì $IA=IB=IC=1\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}IA=1\\IB=1\end{matrix}\right.$

$\overrightarrow{IB}=(-\sqrt{m};m^2+m-1-k)\Rightarrow IB^2=m+(-m^2+m-1-k)^2\\IB=1\Rightarrow m+(-m^2+m-1-k)^2=1$

$\overrightarrow{IA}=(0;m-1-k)\;\Rightarrow IA^2=(m-1-k)^2$

$IA^2=1\Rightarrow (m-1-k)^2=1\Leftrightarrow \left [ \begin{matrix}

k=m-2<m-1\text{thỏa mãn} \\ k=m>m-1\text{loại}

\end{matrix}\right.$

Thế $k=m-2$ thế vào (*) ta được:

$$m+(-m^2+m-1-m+2)^2=1 \Leftrightarrow m-1+(m^2-1)^2=0$$

Giải phương trình kết hợp vơi điều kiện ta được $m=1,m=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ thỏa mãn yêu cầu đề bài!

Nhận xét: Đây là một bài toán khá khó (so với một bài là câu hỏi phụ trong bài khảo sát hàm số ở đề thi Đại học) Cần khá tinh tế để đưa ra nhận xét $k<m-1$, nếu không có nhận xét này sẽ làm mất thêm một chút thời gian nữa để hoàn thiện bài toán này!

Bài toán này còn có cách giải quyết khác bằng cách sử dụng công thức: $S=\frac{abc}{4R}$. Các em hãy thử tự tìm tòi nhé!

Bài tập tự luyện

2.1) A-2007. Cho hàm số $y = \frac{{{x^2} + 2(m + 1)x + {m^2} + 4m}}{{x + 2}}, \ \ \ (1)$ ($m$ là tham số).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$ khi $m = - 1$.

b) Tìm $m$ để hàm số $(1)$ có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ tạo thành 1 tam giác vuông tại $O$. (ĐA: $m = -4 \pm 2\sqrt 6$).

2.2) B-2002. Cho hàm số $y = mx^4 + (m^2 – 9)x^2 + 10 \ \ \ (1)$ ($m$ là tham số).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$ khi $m = 1$.

b) Tìm $m$ để hàm số $(1)$ có $3$ điểm cực trị. (ĐA: $m < -3$ hoặc $0 < m < 3$).

2.3) B-2005. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số $y = \frac{{{x^2} + (m + 1)x + m + 1}}{{x + 1}} \ \ (*)$ ($m$ là tham số).

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(*)$ khi $m = 1$.

b) Chứng minh rằng với $m$ bất kỳ, $(Cm)$ luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng $\sqrt {20}$.

2.4) Cho hàm số $f(x) = x^4 + 2(m – 2)x^2 + m^2 – 5m + 5$ có đồ thị là $(C_m)$.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C_1)$ của hàm số khi $m = 1$.

b) Tìm $m$ để $(Cm)$ có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành một tam giác vuông cân.

(ĐA: $m = 1$).

2.5) Cho hàm số $y = x^4 + 2mx^2 + m^2 + m \ \ \ (1)$.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $(1)$ khi $m = - 2$.

b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng $120^o$.

(ĐA: $m = -\frac{1}{{\sqrt[3]{3}}}$).

2.6) Cho hàm số $y = x^4 + mx^3 – 2x^2 – 3mx + 1 \ \ \ (1)$.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C_0)$ của hàm số khi $m = 0$.

b) Tìm $m$ để hàm số $(1)$ có hai cực tiểu. (ĐA: $m \neq \pm \frac{4}{3}$).

2.7) Cho hàm số $y = (m + 1)x^4 – (m + 2)x^2 + 1$.

a) Tìm $m$ để $y$ có đúng 3 cực trị. (ĐA: m < -2 hoặc m > -1).

b) Tìm $m$ để $y$ chỉ có 1 cực trị. (ĐA: $-2 \leq m \leq -1$).

2.8) Gọi $(G)$ là đồ thị của hàm số $y = x^4 + mx^2 + 1$.

a) Tìm $m$ để $(G)$ có 3 điểm cực trị. (ĐA: $m < 0$).

b) Tìm $m$ để 3 điểm cực trị trong câu a) lập thành một tam giác đều. (ĐA: $m = -\sqrt[3]{{24}}$).

c) Viết phương trình parabol đi qua 3 điểm cực trị nói trên. (ĐA: $y = \frac{m}{2}x$2 + 1$).

2.9) A - 2012. Cho hàm số $y=x^4 – 2(m + 1)x^2 + m^2,\,\,\, (1)$ với $m$ là tham số thực

a)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$ khi $m = 0$

b)      Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.

2.10) B-2011. Cho hàm số $y=x^4 – 2(m + 1)x^2 + m,\,\,\, (1)$ với $m$ là tham số thực

a)      Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số $(1)$ khi $m = 1$

b)      Tìm $m$ để đồ thị hàm số $(1)$ có ba điểm cực trị $A,B,C$ sao cho $OA=BC$, trong đó $A$ là điểm cực trị trên $Oy$, $O$ là gốc tọa độ, $B,C$ là các điểm cực trị còn lại.

2.11) Cho hàm số $y=-{{x}^{4}}+2m{{x}^{2}}-4$. Tìm $m$ để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số đều nằm trên các trục tọa độ.

2.12) Cho hàm số $y={{x}^{4}}+\left( 3m+1 \right){{x}^{2}}-3$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một cạnh bằng $\frac{2}{3}$ cạnh khác.

2.13) Cho hàm số $y=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\left( 3m+1 \right){{x}^{2}}+2\left( m+1 \right)$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trọng tâm.

2.14) Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2m+{{m}^{4}}$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác đều.

2.15): Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2\left( 1-{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+m+1$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất.

2.16) Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}+2$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua điểm $D\left( \frac{3}{5};\frac{9}{5} \right)$

2.17) Cho hàm số $y=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{1}{2}m{{x}^{2}}+m+1$ Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nội tiếp được trong đường tròn có bán kính $R=1$.

2.18) Cho hàm số $y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-3$. Tìm $m$ để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp đạt giá trị nhỏ nhất.