Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Lạng Sơn năm học 2012-2013

Ngày thi 10/10/2012
Thời gian làm bài 180 phút

Câu 1 (4 điểm)
Tìm $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3-mx^2+m$ ($m$ là tham số) cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt.

Câu 2 (4 điểm)
Giải phương trình
$$\left ( \sqrt{3}+1 \right )cos^2x+\left (\sqrt{3} -1 \right )sinxcosx+sinx-cosx=\sqrt3$$

Câu 4 (4 điểm)
Cho dãy số $(u_n)$ xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix} u_1&=&1&\\ \frac{u_{n+1}}{u_n}&=&1+2u^{2013}_n&,n\in \mathbb{N}^* \end{matrix}\right.$$

Câu 5 (5 điểm)
Cho hình $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$ và $SA=a$. Gọi $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $SC$, cắt $SB, SD$ lần lượt tại $B_1, D_1$. Tính diện tích thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng $(\alpha)$.

Câu 6 (3 điểm)
Cho $a,b,c$ là các số thưc không âm thỏa mãn $a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S=a^2+b^2+c^2$