Lập PT $(d)$ đi qua điểm $M$ và chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài toán

Cho tam giác $ABC$ có phươnng trình các đường thẳng là:

$$(AB): x - y + 2 = 0; (AC): 2x + y + 1 = 0; (BC): 4x - y -7 = 0$$

Lập phương trình đường thẳng $(d)$ đi qua điểm $M \left ( \frac{3}{2} ; 6  \right )$ và chia tam giác $ABC$ thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Ta có 

$$A(-1;1);B(3;5);C(1;-3), S_{ABC}=12;$$
$$\sin \widehat{ABC}=\frac{3}{\sqrt{34}};\sin \widehat{BAC}=\frac{3}{\sqrt{10}}$$

Đường thẳng $(d)$ chia tam giác $ABC$ thành 2 phần có diện tích bằng $6$. Dễ thấy đường thẳng $(d)$ hoặc cắt $AB$ và $AC$ hoặc cắt $AB$ và $BC$

TRƯỜNG HỢP 1: $(d)$ cắt $AB$ và $AC$

Giả sử $(d)$ cắt $AB$ tại $D(d;d+2)$,(với $-1<d<3$), $(d)$ cắt $AC$ tại $E(e;-1-2e)$,(với $-1<e<1$). Ta có:

$$AD=\sqrt{2(d+1)^{2}};AE=\sqrt{5(e+1)^{2}}$$

$$S_{\Delta ADE}=\frac{1}{2}.AD.AE.\sin \widehat{BAC}=6\Leftrightarrow (d+1)^{2}.(e+1)^{2}=16$$

Mặt khác, do $D,E,M \in (d)$ nên $\overrightarrow{DM}$ cùng phương $\overrightarrow{EM}$. Ta có

$$\frac{3-2d}{3-2e}=\frac{4-d}{7+2e}$$

Ta có hệ:

$$\begin{cases} (d+1)^{2}.(e+1)^{2}=16\\ (3-2d)(7+2e)=(4-d)(3-2e) \end{cases}$$

Giải hệ ta được $\left\{\begin{matrix} d=\frac{-17+4\sqrt{34}}{5}\\ e=\frac{-2+\sqrt{34}}{5} \end{matrix}\right.$. Vậy

$$D\left (\frac{-17+4\sqrt{34}}{5};\frac{-7+4\sqrt{34}}{5}  \right ); E\left (\frac{\sqrt{34}-2}{5};\frac{-1-2\sqrt{34}}{5}  \right )$$

Ta có phương trình đường thẳng cần tìm:

$$(d):(6-6\sqrt{34})x+(3\sqrt{34}-15)y+81-9\sqrt{34}=0$$

TRƯỜNG HỢP 2: $(d)$ cắt $AB$ và $BC$

Giả sử $(d)$ cắt $AB$ tại $D(d;d+2)$ (với $-1<d<3$),  $(d)$ cắt $BC$ tại $F(f;4f-7)$ (với $1<f<3$)

Tương tự trường hợp 1 ta có:

$$\left\{\begin{matrix} d=\frac{27-2\sqrt{106}}{5}\\ f=\frac{15-\sqrt{106}}{7} \end{matrix}\right.$$

Trường hợp này bị loại vì $f < 1$