Đây là trận đấu giữa 2 đội ở hai phía của bảng xếp hạng ...
ĐỀ THI CỦA GAMMA
Bài 1. Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix}x^4-y^4=240 & & \\x^3-2y^3=3x^2-12y^2-4x+32y & &\end{matrix}\right.$$
Bài 2. Xét trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Quy ước: điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ nguyên.
a) Tồn tại hay không một điểm $A$ sao cho khoảng từ $A$ đến các điểm nguyên trên mặt phẳng là khác nhau đôi một ?
b) Tồn tại hay không một đường tròn trên mặt phẳng chứa đúng $2012$ điểm nguyên ?
Bài 3. Cho $x_1,x_2,...,x_n$ là các số thực phân biệt $(n \ge 2)$. Chứng minh rằng
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{ \left ( 1+x_k^2 \right )^{n/2}}{\prod_{j=1, j \ne k}^{n} \left | x_k-x_j \right |} \ge n.$$
Bài 4. Cho $2$ đường trong tiếp xúc ngoài nhau lần lượt là $(O;9 \ \text{cm}); \ (I;3 \ \text{cm}).$ Biết $(O)$ và $(I)$ chẵn một đoạn thẳng thành $3$ đoạn thẳng bằng nhau. TÍnh độ dài mỗi đoạn chắn.
Bài 5. Một học sinh vẽ trên mặt phẳng một số đường tròn cùng tất cả các tiếp tuyến chung có thể của mỗi cặp đường tròn trong số các đường tròn đã vẽ. Biết rằng các tiếp tuyến vẽ chứa tất cả $2011$ cạnh của một đa giác đều có $2011$ đỉnh. Hỏi số đường tròn học sinh vẽ tối thiểu là bao nhiêu ?
Bài 6. Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, kí hiệu $\varphi (n)$ là các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
Cho $a,b,c \in \mathbb{N}^*; b \ne c$. Chứng minh rằng $2a \mid \varphi (b^a+c^a).$
$$\left\{\begin{matrix}x^4-y^4=240 & & \\x^3-2y^3=3x^2-12y^2-4x+32y & &\end{matrix}\right.$$
Bài 2. Xét trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Quy ước: điểm nguyên là điểm có hoành độ và tung độ nguyên.
a) Tồn tại hay không một điểm $A$ sao cho khoảng từ $A$ đến các điểm nguyên trên mặt phẳng là khác nhau đôi một ?
b) Tồn tại hay không một đường tròn trên mặt phẳng chứa đúng $2012$ điểm nguyên ?
Bài 3. Cho $x_1,x_2,...,x_n$ là các số thực phân biệt $(n \ge 2)$. Chứng minh rằng
$$\sum_{k=1}^{n} \frac{ \left ( 1+x_k^2 \right )^{n/2}}{\prod_{j=1, j \ne k}^{n} \left | x_k-x_j \right |} \ge n.$$
Bài 4. Cho $2$ đường trong tiếp xúc ngoài nhau lần lượt là $(O;9 \ \text{cm}); \ (I;3 \ \text{cm}).$ Biết $(O)$ và $(I)$ chẵn một đoạn thẳng thành $3$ đoạn thẳng bằng nhau. TÍnh độ dài mỗi đoạn chắn.
Bài 5. Một học sinh vẽ trên mặt phẳng một số đường tròn cùng tất cả các tiếp tuyến chung có thể của mỗi cặp đường tròn trong số các đường tròn đã vẽ. Biết rằng các tiếp tuyến vẽ chứa tất cả $2011$ cạnh của một đa giác đều có $2011$ đỉnh. Hỏi số đường tròn học sinh vẽ tối thiểu là bao nhiêu ?
Bài 6. Với mỗi $n \in \mathbb{N}^*$, kí hiệu $\varphi (n)$ là các số nguyên dương không vượt quá $n$ và nguyên tố cùng nhau với $n$.
Cho $a,b,c \in \mathbb{N}^*; b \ne c$. Chứng minh rằng $2a \mid \varphi (b^a+c^a).$
ĐỀ THI CỦA BETA
Bài 1 (THCS):
Giải hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sum {\frac{{2{y^2} + xy + yz + zx}}{{(x - y)(z - y)}} = 2\sum {\frac{1}{{xy}}} } \\
3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 4\left( {y + \frac{1}{y}} \right) = 6\left( {z + \frac{1}{z}} \right)
\end{array} \right.\]
Trong đó $\sum f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$.
Bai 2 (THCS): Cho tam giác ABC có BC là cạnh nhỏ nhất. Lấy E trên AC và D trên AB sao cho $BC=BD=CE$. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle ADE$ bằng khoảng cách giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của $\triangle ABC$
Bài 3 (THPT):
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{y}}\sin x = {\log _2}\left| {\frac{{{\rm{y}}\sin x}}{{1 + 3y}}} \right|(1)\\
\left( {6{y^2} + 2y} \right)\left( {{4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right)=25y^2+6y+1(2)\\
\left| y \right| \le 1(3)
\end{array} \right.$
Bài 4(THPT):
Tính giá trị biểu thức:
$\cos\frac{\pi}{50}.\cos\frac{19\pi}{50}.\cos\frac{31\pi}{50}.\cos\frac{39\pi}{50}+\cos\frac{\pi}{50}.\cos\frac{2\pi}{50}.\cos\frac{19\pi}{50}.\cos\frac{39\pi}{50}+2\cos\frac{\pi}{10}$
Bài 5 (THPT):
Tứ giác ABCD là tứ giác không nội tiếp, các đường trung trực của AB, AD cắt nhau tại A’, các đường trung trực của AB,BC cắt nhau tại B’, các đường trung trực của BC, CD cắt nhau tại C’, các đường trung trực của AD, DC cắt nhau tại D’. CMR: ABCD ngoại tiếp được một đường tròn khi và chỉ khi A’B’C’D’ ngoại tiếp được một đường tròn.
Bài 6 (Olympic):
Từ một tam giác nhọn ${T_0}$ người ta dựng một dãy vô hạn những tam giác ${T_0},{T_1},{T_2}...$ theo qua tắc sau: Các đỉnh của tam giác ${T_{i + 1}}$ là các tiếp điểm của các cạnh tam giác ${T_i}$ với đường tròn nội tiếp của tam giác đó $\left( {i = 0,1,2...} \right)$. Gọi ${p_i}$ là nửa chu vi tam giác ${T_i}$. Chứng minh rằng $\forall n\left( {n = 1,2,...} \right)$ ta có
${p_0} > \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} $
Tam giác ${T_0}$ cần có điều kiện gì để ta có:
$${p_0} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} } \right)$$
Bài 1 (THCS):
Giải hệ phương trình
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sum {\frac{{2{y^2} + xy + yz + zx}}{{(x - y)(z - y)}} = 2\sum {\frac{1}{{xy}}} } \\
3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) = 4\left( {y + \frac{1}{y}} \right) = 6\left( {z + \frac{1}{z}} \right)
\end{array} \right.\]
Trong đó $\sum f(a,b,c)=f(a,b,c)+f(b,c,a)+f(c,a,b)$.
Bai 2 (THCS): Cho tam giác ABC có BC là cạnh nhỏ nhất. Lấy E trên AC và D trên AB sao cho $BC=BD=CE$. Chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle ADE$ bằng khoảng cách giữa tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của $\triangle ABC$
Bài 3 (THPT):
Giải hệ phương trình:
$\left\{ \begin{array}{l}
{\rm{y}}\sin x = {\log _2}\left| {\frac{{{\rm{y}}\sin x}}{{1 + 3y}}} \right|(1)\\
\left( {6{y^2} + 2y} \right)\left( {{4^{{{\sin }^2}x}} + {4^{c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x}}} \right)=25y^2+6y+1(2)\\
\left| y \right| \le 1(3)
\end{array} \right.$
Bài 4(THPT):
Tính giá trị biểu thức:
$\cos\frac{\pi}{50}.\cos\frac{19\pi}{50}.\cos\frac{31\pi}{50}.\cos\frac{39\pi}{50}+\cos\frac{\pi}{50}.\cos\frac{2\pi}{50}.\cos\frac{19\pi}{50}.\cos\frac{39\pi}{50}+2\cos\frac{\pi}{10}$
Bài 5 (THPT):
Tứ giác ABCD là tứ giác không nội tiếp, các đường trung trực của AB, AD cắt nhau tại A’, các đường trung trực của AB,BC cắt nhau tại B’, các đường trung trực của BC, CD cắt nhau tại C’, các đường trung trực của AD, DC cắt nhau tại D’. CMR: ABCD ngoại tiếp được một đường tròn khi và chỉ khi A’B’C’D’ ngoại tiếp được một đường tròn.
Bài 6 (Olympic):
Từ một tam giác nhọn ${T_0}$ người ta dựng một dãy vô hạn những tam giác ${T_0},{T_1},{T_2}...$ theo qua tắc sau: Các đỉnh của tam giác ${T_{i + 1}}$ là các tiếp điểm của các cạnh tam giác ${T_i}$ với đường tròn nội tiếp của tam giác đó $\left( {i = 0,1,2...} \right)$. Gọi ${p_i}$ là nửa chu vi tam giác ${T_i}$. Chứng minh rằng $\forall n\left( {n = 1,2,...} \right)$ ta có
${p_0} > \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} $
Tam giác ${T_0}$ cần có điều kiện gì để ta có:
$${p_0} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} } \right)$$
Mời các bạn vào đây để xem họ thi đấu.
0 comments:
Đăng nhận xét