[Đấu trường VMF 2011] Trận 6: DELTA - GAMMA

Đề của Delta

Câu 1 : THCS
Tồn tại chăng các số hữu tỷ $x ; y ; z$ thoả mãn :

$2x^2 + y^2 + 4z^2 -2x+10z+3y-2xy+7=0$

Câu 2 : THCS
Cho tao giác ABC với $(O) ; (I)$ lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp ; nội tiếp . $(I)$ tiếp xúc $BC$ tại $M$  . Đường tròn $(O')$ cũng tiếp xúc $BC$ tại $M$ và tiếp xúc trong với $(O)$ tại $K$ .  Tính $\measuredangle AKI$

Câu 3 : THPT
Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi :

$a_0 = 0$; $a_{n+1} = \left [\sqrt[3]{a_n +n} \right]^{3}  \forall n \ge 0.$

a) Tính $a_n$ theo $n$
b) Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho $a_n = n$

Câu 4 (THPT)
Tìm tất cả các đa thức $P(x)\in \mathbb{R} [x]$ sao cho tồn tại duy nhất đa thức $Q(x)$ với hệ số thực thoả mãn:

$Q(0)=0 ; x+ Q(y+P(x))= y + Q(x+P(y)) \forall x;y \in \mathbb{R}$

Câu 5 : THPT 
Cho tứ giác lồi $ABCD$ có: $H ;K$ là trung điểm $AC ; BD$ . Biết :

$\measuredangle AKB = \measuredangle CKB ; \angle BHC = \measuredangle DHC ( \ne 90^{0})$ 

Chứng minh rằng : $KA + KC = HB + HD$.

Câu 6 Olympiad :
 Trong phân tích nguyên tố; Nếu $n= p^k$ . ta cho tương ứng : $f(n) = n+1$
Còn nếu  $n= p_1^{k_1} \cdot p_2^{k_2} \cdots p_r^{k_r} ( r>1)$ thì $f(n)= p_1^{k_1} + p_2^{k_2} +\cdots + p_r^{k_r}$

Với $m>1$ là số nguyên dương cho trước ; ta lập dãy $(a_n)$ như sau : $a_0 = m ; a_{j+1} = f(a_j) ( j \ge 0)$
Kí hiệu $g(m)$ là phần tử nhỏ nhất của dãy . Tính $g(m)$

Hãy xem hai đội thi đấu ở: http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=66048