Bài toán ra đề thi hình 10

Trong quá trình giảng dạy phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, tôi và các đồng nghiệp thường ra đề kiểm tra với giả thiết là cho 3 điểm $A(x_a;y_a),B(x_b;y_b),C(x_c;y_c)$ lập thành 1 tam giác. Dĩ nhiên phần kết luận, tôi thường yêu cầu học sinh tìm tọa độ vector, viết phương trình, ...

Để cho học sinh không quá vất vả trong tính toán, tôi thường chọn tọa độ cho 3 điểm trên là các số nguyên có giá trị tuyệt đối không quá lớn. Vấn đề đặt ra là nếu tôi chọn ngẫu nhiên tọa độ cho 3 điểm ấy, có bao nhiêu khả năng chúng sẽ thẳng hàng (Khi đó, đề của tôi sẽ sai).

Tôi có bài toán (tôi tạm gọi là Bài toán ra đề thi hình 10)

Chọn ngẫu nhiên 2 số nguyên trong phạm vi từ -4 đến 4 để lấy làm hoành độ và tung độ cho 1 điểm trong mặt phẳng. Một người chọn ngẫu nhiên 3 cặp số theo cách như trên. Tính xác suất để 3 cặp số đó là tọa độ của 3 điểm thằng hàng.

Đây là 1 bài toán hay và khó. Tôi đã không làm cách nào giải quyết được nó. Tôi đem đi hỏi GS Vũ Hà Văn, GS trả lời như sau: 

Theo toi thi xac suat nay gan bang 0. Neu ban de 4 tien den vo cung thi xac suat se tien toi 0. Con neu tinh chinh xac thi chac chi con cach ngoi dem thoi. 

Tôi dùng Turbo Pascal 7.0 để giải quyết bài toán tổng quát:

USES Crt;

VAR  xA, yA, xB, yB, xC, yC, n: byte;     Ok, S: real;

BEGIN

CLRSCR; 

repeat

  write('Nhap gioi han toa do: '); Readln(n);

  Ok:= 0;

  for xA:= 1 to n do

   for yA:= 1 to n do

    for xB:= 1 to n do

     for yB:= 1 to n do

      for xC:= 1 to n do

       for yC:= 1 to n do

        if (xB-xA)*(yC-yA) - (yB-yA)*(xC-xA) <> 0 then Ok:= Ok + 1;  Ok:= Ok/6;

  Writeln('So lan khong thang hang la: ',Ok:2:0); 

until readkey = '0';

 readln;

END.

Với $n = 9$, ta có $Ok = 82608$, không gian mẫu là $C^3_{81} = 85320$

Suy ra số bộ 3 điểm thẳng hàng là: $85320 - 82608 = 2712$

Xác suất cần tìm là:

$P=\frac{2712}{85320} = 0.0317862$

Tôi thật sự không hài lòng với việc phải dùng đến Pascal. Mong các bạn giúp tôi giải quyết dứt điểm bài toán này. Xin cảm tạ.