Có bao nhiêu hoán vị khác nhau trong đó các chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.

Bài toán: Có bao nhiêu hoán vị khác nhau từ chữ: TOANHOCTUOITRE, trong đó các chữ số giống nhau không đứng cạnh nhau.

Lời giải

Gọi: 

$\mathsf{S}$ là tập hợp tất cả các cách sắp xếp khác nhau.

$\mathsf{T}, \mathsf{O}$ lần lượt là tập hợp các cách sắp xếp các chữ $T, O$ đứng cạnh nhau; 

$\mathsf{T}_2, \mathsf{O}_2$ lần lượt là tập hợp các cách sắp xếp 2 chữ $T, O$ đứng cạnh nhau; 

$\mathsf{T}_3, \mathsf{O}_3$ lần lượt là tập hợp các cách sắp xếp 3 chữ $T, O$ đứng cạnh nhau

$\mathsf{W}$ là tập hợp tất cả các cách sắp xếp hai chữ cái giống nhau đứng cạnh nhau.

Vì có đúng 14 chữ cái, trong đó có 3 chữ $T$, 3 chữ $O$, nên $n(\mathsf{S})=\frac{14!}{3!.3!}$.

Để ba chữ $T$ đứng cạnh nhau, ta chỉ cần coi cụm $TTT$ là một chữ cái. Ta còn 12 chữ cái. Khi đó $n(\mathsf{T}_3)=\frac{12!}{3!}$. 

Tương tự $n(\mathsf{O}_3)=\frac{12!}{3!}$.

Để hai chữ $T$ đứng cạnh nhau ta chỉ cần coi cụm $TT$ là một chữ cái. Ta còn 13 chữ cái. Khi đó $n(\mathsf{T}_2)=\frac{13!}{3!}$. 

Tương tự $n(\mathsf{O}_2)=\frac{13!}{3!}$.

Vậy

$$n(\mathsf{O})= n(\mathsf{O}_2)-n(\mathsf{O}_3)= \frac{13!}{3!}-\frac{12!}{3!}=2.12!=n(\mathsf{T}).$$

Để hai chữ $T$ đứng cạnh nhau và hai chữ $O$ đứng cạnh nhau, ta chỉ cần coi các cụm $TT$, $OO$ là các chữ cái. Ta còn 12 chữ cái. Khi đó $n(\mathsf{T}_2 \cap \mathsf{O}_2)=12!$. 

Tương tự 

$$n(\mathsf{T}_3 \cap \mathsf{O}_3)=10!; \quad n(\mathsf{T}_2 \cap \mathsf{O}_3)=n(\mathsf{T}_3 \cap \mathsf{O}_2)=11!.$$

Do đó

$$\begin{align*}  n(\mathsf{T}\cap \mathsf{O})&=n(\mathsf{T}_2\cap \mathsf{O}_2)-n(\mathsf{T}_3\cap \mathsf{O}_2)-n(\mathsf{T}_2\cap \mathsf{O}_3)+n(\mathsf{T}_3\cap \mathsf{O}_3)  \\&=12!.-2.11!.+10!=111.10!\end{align*}$$

Theo nguyên lý bù trừ, ta có:

$$\begin{align*}n(\mathsf{W}) &=& n\left (\mathsf{T}\cup\mathsf{O}\right )  \\& =& n\left (\mathsf{T}\right )+n\left (\mathsf{O}\right )  -n\left (\mathsf{T}\cap\mathsf{O}\right ) \\&=& 2.2.12!-111.10!=417.10!\end{align*}$$

Vậy số hoán vị cần tìm là

$$n=n(\mathsf{S})-n(\mathsf{W})=908409600$$