Khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị

Cho hàm số phân thức $y=f(x)$ xác định trên $D = \mathbb{R} \setminus \left \{ x_0 \right \}$ và có đồ thị $\left ( C \right )$.

Gọi $(C_1), (C_2)$ tương ứng là phần đồ thị $\left ( C \right )$ trên các khoảng $( -\infty ; x_0), (x_0; +\infty)$

Khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị $\left ( C \right )$ được định nghĩa như sau: $$d_C = \min_{M \in (C_1), N \in (C_2)} MN$$

Bài toán 1. Hãy tìm khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{x-x_0}$.

Giải:

Giả sử $M\left ( m;\frac{am+b}{m-x_0} \right );N\left ( n;\frac{an+b}{n-x_0} \right ), m < x_0 < n$.

Khi đó:

$$MN^2 = (m-n)^2\left ( 1+\frac{(ax_0+b)^2}{(x_0^2 - (m+n)x_0 + mn)^2} \right )$$

Đặt $S = m+n, P=mn$ ta có $\Delta = S^2-4P > 0$ và

$$-\frac{\Delta}{4} \leq x_0^2 - Sx_0 + P < 0 \text{ (1)}$$ Bình phương hai vế của $(1)$, ta có:

$$\frac{\Delta ^2}{16} \geq (x_0^2 - (m+n)x_0 + mn)^2$$

Do đó:

$$\frac{(ax_0+b)^2}{(x_0^2 - (m+n)x_0 + mn)^2} \geq \frac{16(ax_0+b)^2}{\Delta ^2}$$

Từ đó ta có: $$MN^2 \geq \Delta \left ( 1+\frac{16(ax_0+b)^2}{\Delta ^2} \right ) = \Delta +\frac{16(ax_0+b)^2}{\Delta } \geq 8|ax_0+b|$$

Vậy $d_C = 2\sqrt{2|ax_0+b|}$ khi hoành độ $M,N$ là: $x_0\pm \sqrt{|ax_0+b|}$