Hai tiếp tuyến $AB,AC$ tạo thành tam giác đều

Bài toán

Cho hàm số $y=\frac{x+m}{x-2}$ có đồ thị $(H_m)$.

Tìm $m$ để từ $A(1;2)$ kẻ được hai tiếp tuyến $AB,AC$ đến $(Hm)$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác đều ($B,C$ là tiếp điểm).

Lời giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(H_m)$ tại điểm có hoành độ $x_0 \neq 2$ có dạng:

$$y = \frac{-2-m}{(x_0-2)^2}(x-x_0)+\frac{x_0+m}{x_0-2}$$

Vì tiếp tuyến đang xét đi qua $A(1;2)$ nên:

$$2 = \frac{2+m}{(x_0-2)^2}(x_0-1)+\frac{x_0+m}{x_0-2}$$

$$\Leftrightarrow x_0^2 - 2(m+4)x_0+3m+10=0 \quad \quad \quad (1)$$

Tồn tại hai tiếp tuyến phân biệt $AB,AC$ khi và chỉ khi phương trình $(1)$ (ẩn $x_0$) có 2 nghiệm phân biệt khác $2$. Điều này tương đương với:

$$\begin{cases}\Delta ' = (m+4)^2-(3m+10)>0 \\ 2^2 -2.(m+4).2+3m+10 \neq 0  \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}m \in (-\infty ; -3) \cup (-2;+\infty)\\ m \neq 2\end{cases} \quad (2)$$

Với điều kiện $(2)$, phương trình $(1)$ có hai nghiệm $x_1,x_2$ và:

$$x_1+x_2 = 2(m+4); \quad x_1x_2 = 3m+10$$

Gọi $k_1,k_2$ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại $x_1,x_2$. Khi đó:

$$k_1k_2 = \frac{(2+m)^2}{[(x_1-2)(x_2-2)]^2}=1$$

$$(k_1+k_2)^2 =  \left ( \frac{4m^2 +18m + 20}{2+m} \right )^2$$

Vì hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc $60^o$ nên:

$$\begin{align*} & \frac{(k_1-k_2)^2}{(1+k_1k_2)^2}=3 \\
\Leftrightarrow & (k_1+k_2)^2 = 3(1+k_1k_2)^2 + 4k_1k_2 \\
\Leftrightarrow & (k_1+k_2)^2 = 16 \\
\Leftrightarrow & m \in \left \{ -\frac{3}{2};-\frac{7}{2} \right \} \end{align*}$$

TH1) $m=\dfrac{3}{2}$.

Khi đó, ta có 
$$B\left ( \frac{5+\sqrt{3}}{2};\frac{1+\sqrt{3}}{2} \right ), \quad C\left ( \frac{5-\sqrt{3}}{2};\frac{1-\sqrt{3}}{2} \right )$$

Kiểm tra, ta thấy $AB=AC=\sqrt{6}$.

TH2) $m=-\dfrac{7}{2}$.

Khi đó, ta có 

$$B\left ( \frac{1+\sqrt{3}}{2};\frac{5+\sqrt{3}}{2} \right ), \quad C\left ( \frac{1-\sqrt{3}}{2};\frac{5-\sqrt{3}}{2} \right )$$

Kiểm tra, ta thấy $AB=AC=\sqrt{2}$.

Vậy $m=-\frac{3}{2}, m=-\frac{7}{2}$ là nghiệm của bài toán